Área bajo la curva por extremos izquierdos

Motamaticas

26 Feb 202009:15

Summary

TLDREn este video se explica cómo calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3] utilizando rectángulos por extremos izquierdos. El proceso incluye encontrar la base de los rectángulos, calcular las alturas sustituyendo los valores en la función, y luego sumar las áreas aproximadas de cada rectángulo. Aunque el método es aproximado, proporciona una buena estimación del área total, que en este caso resulta ser 25 unidades cuadradas. Se enfatiza la importancia del enfoque en los extremos izquierdos para lograr el cálculo.

Takeaways

📏 El ejercicio pide calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo de [-3, 3] utilizando rectángulos por extremos izquierdos.
✏️ El delta de x, que es la base de los rectángulos, se calcula como (b - a) / n, donde a y b son los límites del intervalo y n es el número de rectángulos.
🧮 Para este ejercicio, el intervalo va de -3 a 3, y al dividir entre 6 rectángulos, la base de cada rectángulo es 1.
📊 Los valores de x se toman de unidad en unidad, comenzando en -3 y terminando en 3, lo que genera los puntos para construir los rectángulos.
🔢 Al sustituir cada valor de x en la función f(x) = x^2 + 1, se obtienen las alturas de los rectángulos.
📐 Las alturas correspondientes son: 10 para x = -3, 5 para x = -2, 2 para x = -1, 1 para x = 0, 2 para x = 1, y 5 para x = 2.
📉 Los rectángulos se trazan tomando los valores de la izquierda y extendiéndose hacia la derecha hasta el siguiente punto.
🔲 La fórmula para calcular el área de cada rectángulo es base por altura, donde la base es siempre 1.
🧮 Al sumar las alturas (10 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5) y multiplicarlas por la base de 1, se obtiene un área total aproximada de 25 unidades cuadradas.
✅ El resultado final es un área aproximada porque algunas partes de la curva no son consideradas completamente debido a la metodología de rectángulos por extremos izquierdos.

Q & A

¿Qué función se está utilizando en el ejercicio?
-La función utilizada en el ejercicio es f(x) = x^2 + 1.
¿Cuál es el intervalo dado para encontrar el área bajo la curva?
-El intervalo dado es [-3, 3], es decir, desde -3 hasta 3.
¿Qué método se utiliza para aproximar el área bajo la curva?
-Se utiliza el método de aproximación por rectángulos tomando los extremos izquierdos de cada subintervalo.
¿Cómo se calcula la base de cada rectángulo en este método?
-La base de cada rectángulo se calcula dividiendo la longitud del intervalo (b - a) entre el número de rectángulos (n), lo que da como resultado una base de 1 unidad.
¿Cuál es el valor de la altura del primer rectángulo?
-La altura del primer rectángulo, que corresponde al valor en x = -3, es 10, ya que (-3)^2 + 1 = 10.
¿Cómo se determina la altura de cada rectángulo?
-La altura de cada rectángulo se determina evaluando los puntos x de los extremos izquierdos en la función f(x) = x^2 + 1.
¿Qué se puede decir de la exactitud del área obtenida mediante este método?
-El área obtenida es una aproximación porque los rectángulos no coinciden perfectamente con la curva, dejando algunas partes fuera o sin cubrir.
¿Cuál es el área aproximada obtenida para este ejercicio?
-El área aproximada obtenida es de 25 unidades cuadradas.
¿Cómo se calculan las áreas de los rectángulos?
-Las áreas de los rectángulos se calculan multiplicando la base por la altura, donde la base es constante (1 unidad) y las alturas varían según los valores de la función en los extremos izquierdos.
¿Por qué se utilizan unidades cuadradas para el área?
-Se utilizan unidades cuadradas porque el área es una medida bidimensional, que cubre una superficie.

Outlines

00:00

📐 Introducción al área bajo la curva por extremos izquierdos

En este párrafo se presenta el objetivo del ejercicio, que es encontrar el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3] usando rectángulos por extremos izquierdos. Se explica cómo calcular la base de cada rectángulo utilizando la fórmula de Δx = (b - a) / n, donde a y b son los límites del intervalo y n el número de rectángulos. En este caso, se divide el intervalo en 6 rectángulos, y cada uno tiene una base de una unidad. También se menciona la importancia de los valores de x y su sustitución en la función para obtener las alturas de los rectángulos.

05:03

📊 Cálculo gráfico y aproximación del área

Este párrafo describe cómo se grafican los puntos calculados de la función en los rectángulos por extremos izquierdos. Se grafican los puntos correspondientes a los valores de x sustituidos en la función para determinar las alturas. Se resalta que la base es constante y las alturas varían para cada rectángulo. Finalmente, se explica que la fórmula para el área de un rectángulo es base por altura, y que el área total es aproximada debido a las limitaciones inherentes al uso de rectángulos que no cubren completamente el área bajo la curva. El área aproximada calculada para este ejercicio es de 25 unidades cuadradas.

Mindmap

Keywords

💡Área bajo la curva

El área bajo la curva es un concepto matemático que se refiere al espacio encerrado entre una función y el eje x en un intervalo dado. En el video, se calcula el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3] usando rectángulos. Este área se aproxima mediante la suma de las áreas de varios rectángulos trazados desde los extremos izquierdos.

💡Rectángulos por extremos izquierdos

Este método consiste en calcular áreas aproximadas bajo una curva utilizando rectángulos cuyos extremos izquierdos tocan la curva. En el video, los rectángulos se trazan desde el punto izquierdo en cada subintervalo, lo que proporciona una aproximación de la integral definida. La altura de cada rectángulo se calcula a partir de la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo.

💡Intervalo cerrado

Un intervalo cerrado incluye tanto los puntos iniciales como los finales del intervalo. En este caso, el intervalo cerrado es [-3, 3], lo que significa que se consideran los puntos -3 y 3 en el cálculo del área bajo la curva. El intervalo es fundamental para definir los límites de integración y de partición del área.

💡Delta de x (Δx)

Delta de x representa la base de cada rectángulo utilizado en la aproximación del área bajo la curva. Se calcula como la diferencia entre los límites del intervalo dividido entre el número de rectángulos (n). En el video, Δx se calcula como (3 - (-3)) / 6, lo que da un valor de 1. Esto significa que cada rectángulo tiene una base de 1 unidad.

💡Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax² + bx + c. En el video, la función f(x) = x² + 1 es una parábola que se utiliza para calcular el área bajo la curva. Al ser una función cuadrática, la gráfica es una parábola simétrica, y su forma afecta las alturas de los rectángulos utilizados en la aproximación del área.

💡Altura de los rectángulos

La altura de cada rectángulo en el método de aproximación del área bajo la curva se obtiene evaluando la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. En el video, las alturas se calculan para x = -3, -2, -1, 0, 1 y 2, y varían según la fórmula f(x) = x² + 1. Por ejemplo, para x = -3, la altura es f(-3) = 10.

💡Aproximación

En este contexto, una aproximación es un cálculo cercano al valor real pero no exacto. El área bajo la curva calculada con rectángulos desde los extremos izquierdos es una aproximación de la integral definida, ya que no considera las áreas que quedan fuera de los rectángulos trazados. En el video, se hace énfasis en que el método proporciona un área aproximada debido a la naturaleza del enfoque.

💡Integral definida

Una integral definida es un cálculo que encuentra el área exacta bajo una curva en un intervalo específico. Aunque no se menciona explícitamente en el video, el proceso de aproximación del área bajo la curva mediante rectángulos es una forma de estimar la integral definida de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3].

💡Base de los rectángulos

La base de cada rectángulo en la aproximación es constante y está dada por el valor de Δx. En el video, se calcula que la base de cada rectángulo es 1 unidad, lo que significa que todos los rectángulos tienen la misma anchura en el gráfico. Esto es fundamental para calcular el área de cada rectángulo multiplicando la base por la altura.

💡Parábola

La parábola es la forma de la gráfica de una función cuadrática como f(x) = x² + 1. En el video, se explica cómo la curva tiene una forma de parábola, que afecta la distribución de las alturas de los rectángulos utilizados para aproximar el área bajo la curva. La simetría de la parábola también influye en el cálculo de las áreas a ambos lados del eje y.

Highlights

Introducción a la técnica de calcular el área bajo la curva usando rectángulos por extremos izquierdos.

Descripción de la función f(x) = x² + 1 y del intervalo cerrado [-3, 3].

Explicación de cómo encontrar el valor de la base de los rectángulos (delta x) usando la fórmula (b - a) / n.

Cálculo de la base de los rectángulos, que resulta ser 1 unidad.

Paso a paso del cálculo de los valores de x (desde -3 hasta 3) y cómo se sustituyen en la función f(x).

Determinación de los valores de f(x) para x = -3, -2, -1, 0, 1, 2 y 3.

Representación gráfica de los puntos en una parábola basada en la función cuadrática.

Construcción de rectángulos basados en los puntos de la izquierda, destacando que es una aproximación.

Cálculo del área total aproximada usando la suma de las áreas de los rectángulos.

Explicación de la fórmula del área del rectángulo: base por altura.

Justificación de por qué el método de extremos izquierdos ofrece un valor aproximado.

Cálculo de las alturas de los rectángulos para cada uno de los puntos en el intervalo [-3, 3].

Suma de las alturas: 10 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5, obteniendo un área total aproximada de 25 unidades cuadradas.

Conclusión sobre la importancia de trabajar con áreas aproximadas y su aplicación práctica en problemas de cálculo.

Resumen del proceso completo, desde la selección de los puntos hasta el cálculo final del área bajo la curva.