Derivada de u a la n (derivada de la potencia de una función)
Summary
TLDREste video enseña cómo derivar funciones algebraicas utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\). Se explica paso a paso el proceso de derivación para funciones como \(3x^2 - 2^3\), \(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{4}{3}}\) y \(\frac{4}{x^2 - 2}\), entre otras. Se destacan las reglas de derivación para potencias y productos, así como la manipulación de exponentes fraccionarios para facilitar el proceso.
Takeaways
- 📘 La derivada de una función algebraica se calcula utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, donde la derivada de u^n respecto a x es n · u^{n-1} · u'.
- 📗 Para derivar una constante elevada a una potencia, se multiplica la constante por el exponente y se reduce el exponente en 1.
- 📙 La derivada de una constante es cero, ya que no varía con respecto a la variable independiente.
- 📒 Al derivar una potencia fraccionaria, se convierte en una potencia entera y se aplica la fórmula de la derivada de una potencia.
- 📕 La derivada de una fracción se calcula multiplicando el numerador por el denominador elevado a la potencia correspondiente y descomponiendo el exponente.
- 📔 Al derivar una función que contiene un binomio elevado a un exponente, primero se desarrolla el binomio y luego se multiplica por el exponente correspondiente.
- 📓 La derivada de una raíz cuadrada se obtiene pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.
- 📔 Al derivar una función con un exponente negativo, se pasa el exponente al denominador y se cambia su signo.
- 📒 La simplificación de una expresión algebraica después de derivar puede incluir la cancelación de factores comunes.
- 📐 La derivada de una función que contiene una raíz cúbica se calcula pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.
Q & A
¿Cuál es la fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n?
-La fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n es f'(x) = n*a*x^(n-1).
¿Cómo se deriva la función f(x) = 3x^2 - 2^3?
-La derivada de f(x) = 3x^2 - 2^3 es f'(x) = 6x.
¿Qué es la derivada de una constante y por qué es cero?
-La derivada de una constante es cero porque la constante no cambia con respecto a la variable, por lo que su tasa de cambio (derivada) es nula.
¿Cuál es la derivada de x^3 con respecto a x?
-La derivada de x^3 con respecto a x es 3x^2.
¿Cómo se calcula la derivada de una potencia fraccionaria de una variable?
-Para calcular la derivada de una potencia fraccionaria, se utiliza la fórmula (a^(m/n))' = (m/n)*a^(m/n - 1)*lna.
¿Qué significa el exponente fraccionario en una función y cómo se maneja al derivar?
-El exponente fraccionario indica que la función está elevada a una potencia que no es un entero. Al derivar, se pasa al numerador y se cambia el signo del exponente fraccionario.
¿Cómo se derivan funciones que tienen un binomio elevado a un exponente?
-Para derivar funciones con un binomio elevado a un exponente, se aplica la fórmula (uv^n)' = n*u*v^(n-1)*v'.
¿Qué es la fórmula para derivar una función que está en la forma de una fracción?
-La fórmula para derivar una función en forma de fracción es (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.
¿Cómo se simplifica la derivada de una función que contiene un término con exponente negativo?
-La derivada de un término con exponente negativo se simplifica pasando el término al denominador y cambiando el signo del exponente a positivo.
¿Cuál es la derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2)?
-La derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2) es f'(x) = -8/(x^2 - 2)^3.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene una raíz cúbica?
-Para derivar una función que contiene una raíz cúbica, se pasa el exponente fraccionario a la raíz correspondiente, y se aplica la fórmula de derivación para potencias fraccionarias.
Outlines
📚 Derivación de Funciones Algebraicas
En este segmento se explica cómo derivar funciones algebraicas. Se comienza con la función f(x) = 3x^2 - 2^3, y se utiliza la fórmula de la derivada de una potencia, que es n * x^(n-1). La derivada de f(x) resulta ser f'(x) = 6x * (3x^2 - 2). Además, se menciona que para derivar una constante, la derivada es cero. Se procede a derivar otra función, f(x) = (x^3 - 3x^4)^(1/3), utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, obteniendo f'(x) = (1/3) * (4x^3 - 3x^4) * (x^3 - 3x^4)^(-2/3).
🔍 Detallando la Derivada de una Función Algebraica
Este párrafo profundiza en el proceso de derivación de la función del párrafo anterior, explicando paso a paso cómo se calcula la derivada de cada término. Se detalla el uso de la fórmula de la derivada de una potencia y cómo se maneja la constante dentro de una función al derivarla. Finalmente, se simplifica la expresión obtenida para la derivada de f(x) = (x^3 - 3x^4)^(1/3), destacando la importancia de factorizar y simplificar los términos.
📐 Aplicación de la Fórmula de la Derivada de una Potencia
Se describe el proceso de derivación de la función f(x) = 4(x^2 - 2), pasando el término del denominador al numerador y cambiando el signo del exponente. Se aplica la fórmula de la derivada de una potencia para obtener f'(x) = 4 * (2x - 8) / (x^2 - 2)^3. Se enfatiza la importancia de recordar las fórmulas de derivación y cómo se maneja la derivada de una constante.
🔢 Derivación de una Función con Exponente Fraccionario
En este párrafo se muestra cómo derivar la función f(x) = √(12x^3 + 6x), transformando la raíz en un exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia. Se obtiene f'(x) = (3/2) * (2x^3 + 6x)^(1/2) * (6x^2 + 6). Se explica la importancia de factorizar y simplificar la expresión antes de pasar el exponente fraccionario a una raíz.
📘 Derivación de una Función con Exponente Negativo
Se aborda la derivación de la función f(x) = 3 / √(x^2), pasando el exponente negativo al denominador y cambiando el signo. Se aplica la fórmula de la derivada de una potencia para obtener f'(x) = -5/3 * (2x + 4)^(-5/3). Se destaca cómo se maneja el exponente negativo y se pasa al denominador, cambiando el signo y utilizando la raíz correspondiente.
Mindmap
Keywords
💡derivada
💡potencia
💡constante
💡exponente
💡binomio
💡factor común
💡fracción
💡exponente fraccionario
💡raíz
💡numerador
💡denominador
Highlights
Derivación de funciones algebraicas utilizando la fórmula de la derivada de una potencia n.
Derivada de la función f(x) = 3x^2 - 2^3 utilizando la fórmula de potencias.
Explicación de cómo aplicar la fórmula de derivada de una potencia para funciones con exponentes enteros.
Derivada de 3x^2 - 2^3 obtenida como 6x.
Proceso de derivación paso a paso para la función f(x) = (1/3)x^3 - 3x^4.
Uso de la fórmula de derivada para funciones con exponentes fraccionarios.
Derivada de la función f(x) = (1/3)x^3 - 3x^4 obtenida como 4x^2 - 3x^3.
Explicación detallada de la simplificación de términos durante la derivación.
Derivación de la función f(x) = 4/(x^2 - 2) utilizando la fórmula de derivada de una fracción.
Cambio de signo del exponente al pasar de denominador a numerador en la derivación de fracciones.
Derivada de f(x) = √(12x^3 + 6x^2) obtenida como 9x^(3/2) + 1/√(2x^3 + 6x).
Proceso de pasar la raíz a exponente fraccionario para facilitar la derivación.
Derivación de la función f(x) = 3/(2x^(4/3)) utilizando la fórmula de derivada de una potencia fraccionaria.
Manejo de términos con exponentes negativos durante la derivación.
Derivada de f(x) = 3/(2x^(4/3)) obtenida como -5/3 * (2x + 4)^(5/3).
Proceso de pasar exponentes fraccionarios a radicales durante la derivación.
Transcripts
a continuación vamos a hallar la
derivada de algunas funciones
algebraicas
en primer lugar tenemos fx igual a 3x
cuadrada menos 2 elevado al cubo para
derivar esta función
vamos a utilizar esta fórmula está
derivada de uva la n con respecto a x es
igual a n por 1 a la n 1 por la derivada
de un
y corresponde a lo que está dentro del
paréntesis y n al exponente entonces
tenemos que f prima de x está esta
comida simple indica la primera derivada
de la función f prima de x es igual a 3
que es n n por 1 y es igual a 3x
cuadrada menos 2 a la n 13 menos uno por
la derivada de la derivada de lo que
está entre paréntesis
esto es igual a
3
3x cuadrada
- 2
cuyo exponente es 312 por la derivada de
3x cuadrada es igual a
6x la derivada de 20 ya que la derivada
de toda constante es igual a 0 para
derivar 3x cuadrada se utiliza la
siguiente fórmula
derivada
con respecto a x de c x a la n
es donde se es la constante es igual a
la constante
pero
m x x a la n 1
y esto es igual a c por n por equis a la
n 1 entonces
la constante estrés
3
por dos
por equis
a la 2 - 1 esto es igual a 3 por 2 6 x 2
11 el exponente uno no lo escribimos
entonces así es como obtuvimos 6x
ahora
efe prima de x
es igual
a 3 x 6 x
18 x
3x cuadrada menos 2 elevado al cuadrado
este es el resultado o esta es la
derivada de esta función este 18 x no
puede multiplicar a 3x cuadrado menos 2
ya que este binomio este elevado al
cuadrado para poder multiplicar este 18
x a este binomio primero se tendría que
desarrollar el binomio al cuadrado y
posteriormente multiplicar por 18 x
a continuación vamos a derivar la
siguiente función
esta función también la podemos expresar
de la siguiente manera el binomio
tiene como coeficiente 1 por lo tanto
vamos a poner o vamos a escribir como
factor el un tercio
fx
es igual
a un tercio
de x kubica
- 3x
a la cuarta potencia
esta es la función que vamos a derivar
y para derivar la vamos a utilizar la
fórmula
derivada de uva la n
con respecto a x es igual a n por a la n
1 por la derivada de u
entonces tenemos que
efe prima de x
es igual a un tercio sacamos la
constante
por la derivada
d
x cúbica menos 3x a la cuarta potencia
con respecto a x
desarrollamos efe prima de x
es igual a un tercio abrimos corchete la
derivada de este binomio a la cuarta
potencia es igual a n por n por lo que
está entre paréntesis vamos a indicarlo
de esa manera 4 por equis cúbica menos
3x
y el exponente del binomio será 4
- 1
porque porque la fórmula dice n 1
por la derivada
de uno o es lo que está dentro del
paréntesis la derivada de x cúbica menos
3x
con respecto a x
esto es igual a
un tercio
4 x x cúbica menos 3 x
el exponente 4 13 por la derivada de x
kubica es igual a 3x cuadrada como
obtuvimos su derivado
para derivar x cúbica utilizamos la
fórmula derivada de x a la n con
respecto a x esto es igual a n por x a
la n 1
3 por 1
3
x 3 1 2
menos la derivada de 3x es igual a 3
como obtuvimos su derivada
derivada de una constante por x con
respecto a x es igual a la constante
en este caso la constante es 3 con su
signo negativo
ahora efe de x es igual a
un tercio por cuatro es igual a cuatro
tercios
x cúbica menos 3x elevado al cubo x
3x cuadrada
- 3
aquí hay un factor común
qué estrés vamos a simplificar efe prima
de x
es igual
a cuatro tercios por equis cúbica menos
3x al cubo por sacamos el factor común 3
y queda x cuadrada menos 1
3 se está multiplicando y este 3 se está
dividiendo se cancelan y el resultado es
4 x x cúbica menos 3 x elevado al cubo
x
x cuadrada
- 1
este es el resultado la siguiente
función a derivar en fx igual a 4 entre
el cuadrado de x cuadrada menos 2
fx
también lo podemos escribir de la
siguiente manera lo que está en el
denominador de esta fracción lo vamos a
pasar al numerador y al pasar al
numerador el exponente del binomio
cambia de signo
esto es igual a 4 x
x cuadrada menos 2 y su exponente ahora
es menos 2
si está en el denominador con signo
positivo al pasar el numerador pasa con
signo negativo ahora sí ahora ya podemos
aplicar la fórmula
derivada de la n con respecto a x es
igual a n por 1 a la n 1 por la derivada
de donde v
es lo que está dentro del paréntesis y
el exponente corresponde a n entonces
efe prima de x
es igual a 4
la derivada
de x cuadrada menos 2
al menos 2 con respecto a x
y esto es igual
a 4
abro corchetes y aquí aplicamos la
fórmula
n por 1 - 2 x
x cuadrada menos 2
y su exponente será o es menos dos menos
uno
así lo indica la fórmula n1 n2
-1 entonces por la derivada de la
derivada de x cuadrada menos 2 con
respecto a x
efe prima de x que corresponde a la
primera derivada es igual
4 x - 2 - 8
por equis cuadrada menos 2
- 2 - 1 - 3
por la derivada de x cuadrada
2x la derivada de dos es cero
la derivada para derivar x cuadrada no
se les olvide que se utiliza la fórmula
derivada de x a la n con respecto a x es
igual a n por x a la n 1 esta es la
fórmula que se utiliza para derivar x
cuadrada
efe prima de x es igual a menos por más
menos 8 por 2 x 16 x
por equis cuadrada menos 2
al menos 3
esto es igual
a efe prima de x
este binomio tiene exponente negativo lo
vamos a pasar al denominador
menos
16 x
/
x cuadrada menos 2
al cubo
este es el resultado esta es la primera
derivada
de esta función
ahora vamos a hallar la derivada de fx
igual a la raíz cuadrada de 12 x cúbica
+ 6 x al cubo
vamos a pasar la raíz
la exponente fraccionario de tal manera
que el binomio contenga un exponente
fraccionario entonces
fx
es igual
a 2 x kubica
+ 6 x
ahora su exponente se conformará de la
siguiente manera
el numerador de la fracción
corresponde al exponente de la base que
en este caso es el binomio
3
y el denominador de la fracción
corresponde al índice de la raíz esta
raíz es raíz cuadrada entonces
aquí es 2
ahora la función queda de la siguiente
manera fx igual a 2 x cúbica + 6 x ^ a
la 3 medios
para hallar la derivada de esta función
utilizaremos la siguiente fórmula
derivada de uala n con respecto a x es
igual a n por 1 a la n 1 por la derivada
de uno
entonces aplicamos la fórmula
efe prima de x
es igual
a tres medios por dos x al cubo
+ 6 x
y su exponente n
1
tres medios
menos 1 por la derivada de eeuu por la
derivada de 2x kubica más 6x
con respecto a la variable x
ahora efe prima de x
es igual
a tres medios
por 2x kubica
+ 6 x
cuyo exponente 3 un entero un entero es
igual a dos medios tres medios menos 1
es equivalente a decir tres medios menos
dos medios es igual a un medio
por la derivada de 2x cúbica es igual a
6x cuadrada
más la derivada de 6x es igual a 6
en los ejercicios anteriores ya
mencionamos ya explicar cómo hallamos la
derivada de estos dos términos qué
fórmulas se utilizan para derivar estos
dos términos
efe prima de x
es igual a tres medios
por 2 x cúbica más 6 x
al a un medio por vamos a factorizar
aquí hay un factor común que es 6
sacamos el factor común y queda x
cuadrada más
ahora
en el siguiente paso
6 x 3 18 18 entre 2
9
9 x 2x kubica
+ 6 x
al a un medio por equis cuadrada
1
este binomio que está elevado a la
potencia un medio lo vamos a pasar a
raíz
entonces
efe prima de x
es igual
a 9 voy a escribir primero este factor
por equis cuadrada
+ 1
por la raíz que damos que el exponente
fraccionario este exponente está
compuesto de la siguiente manera el
numerador de esta fracción corresponde
al exponente del binomio o de la base y
el denominador corresponde al índice de
la raíz como el denominador es 2
entonces la raíz es raíz cuadrada
y este binomio 2x cúbica 6x su exponente
será 1 por lo tanto queda como 2x kubica
más 6x
ahora vamos a derivar en fx igual a tres
entre raíz cúbica del cuadrado de 2 x 4
esta expresión para para poderla derivar
vamos a pasar a exponente fraccionario
este binomio y posteriormente lo pasamos
al numerador
fx
es igual
a 3
/
2 x 4
y su exponente será fraccionario y se
conformará de la siguiente manera el
numerador de esa fracción corresponde al
exponente del binomio
qué es 2 y el denominador de esa
fracción corresponde al índice de la
raíz la raíz es cúbica entonces aquí es
3
ahora este binomio lo vamos a pasar el
numerador y cambiar el signo del
exponente esto es igual a 3 por 2 x + 4
y su exponente ahora es menos dos
tercios
esta es la función que vamos a derivar
la fórmula utilizar es derivada de uva
la n con respecto a x es igual a n por a
la n 1 por la derivada de
efe prima de x
es igual a
3
por la derivada de 2 x 4
a la menos dos tercios con respecto a x
esto es igual
a 3 se abre corchete aplicamos la
fórmula menos dos tercios por 2 x más 4
a la menos dos tercios
- 1 n 1 es lo que dice la fórmula por la
derivada de un la derivada de 2x más 4
con respecto a x
esto es igual
más x menos -3 por 26 entre 32
aquí también se puede resolver de la
siguiente manera 3 están multiplicando y
este 3 se está dividiendo se cancelan y
queda 2
2x
+ 4
menos dos tercios menos uno un entero es
igual a tres tercios menos dos tercios
menos tres tercios es igual a menos
cinco tercios
por la derivada de 2x es 2
porque porque utilizamos esta fórmula
derivada de una constante por x con
respecto a x es igual a la constante
ahora menos por más menos
2 x 2 4 x 2 x 4
al menos cinco tercios este binomio
tiene exponente negativo lo vamos a
pasar al denominador y pasará con
exponente positivo
efe prima de x es igual a menos
en el numerador se queda el 4 y en el
denominador se queda dos x + 4 a las 5
tercios
en el denominador vamos a pasar este
exponente fraccionario a raíz quedamos
que el numerador de la fracción es el
exponente de la base y el denominador es
el índice de la raíz por lo tanto es
raíz cúbica
d
2 x + 4
a la quinta
y tenemos que esta o este resultado es
la primera derivada
de esta función
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