Límites al infinito | Ejemplo 4
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada sobre cómo resolver límites a infinito en matemáticas. Se aborda la indeterminación 'infinito/infinito' y se muestra el proceso paso a paso, incluyendo la división por el grado más alto de x tanto en el numerador como en el denominador. Además, se presentan ejemplos para ilustrar conceptos y se invita a los espectadores a practicar con ejercicios similares, promoviendo la comprensión práctica de los límites.
Takeaways
- 😀 Este video forma parte de un curso sobre límites y se enfoca en resolver límites a infinito.
- 🔍 Se recomienda ver videos anteriores para comprender mejor los conceptos presentados en el video actual.
- 📚 Se explica que cuando el grado de los términos en el numerador y el denominador son iguales, generalmente se obtiene un resultado de 'infinito sobre infinito'.
- 📈 Se enseña que cuando los grados son diferentes, se debe dividir por el término con el grado más alto para resolver el límite.
- 🔢 Se destaca la importancia de recordar que una constante dividida por cero da infinito, pero esto solo se aplica a límites a infinito.
- 🧮 Se muestra un ejemplo paso a paso para resolver un límite, incluyendo la división de términos y la eliminación de factores comunes.
- 📉 Se menciona que al reemplazar x con infinito en una expresión, los términos que contienen x tienden a cero.
- 📊 Se explica que si el grado máximo está en el denominador, el límite tiende a cero, y si está en el numerador, tiende a infinito o negativo infinito dependiendo del signo.
- 📘 Se aborda la técnica de 'tachar' para simplificar las expresiones al resolver límites, lo cual es crucial para evitar errores.
- 🎓 Se ofrece un ejercicio para que el espectador practique los conceptos aprendidos y se anima a suscribirse y compartir el contenido.
Q & A
¿Qué tipo de límites se discuten en el curso de límites y límites al infinito?
-El curso trata sobre límites en general, pero en este video en particular se enfoca en límites a infinito, donde se resuelven ejercicios clásicos que involucran términos con grados en el numerador y el denominador.
¿Qué sucede con los límites cuando el grado de los términos en el numerador y el denominador son iguales?
-Cuando los grados son iguales, el límite tiende a ser indeterminado, ya que se obtiene una expresión del tipo 'infinito dividido por infinito'.
¿Cómo se resuelve un límite cuando los grados del numerador y del denominador son diferentes?
-Para resolver límites con grados diferentes, se divide todo la expresión por x elevado al grado máximo, que es el exponente de x en el término con el grado más alto, ya sea en el numerador o el denominador.
¿Cuál es la importancia de evaluar el límite al reemplazar x con infinito en los límites a infinito?
-Al reemplazar x con infinito, se pueden simplificar los términos y obtener el resultado final del límite, que puede ser cero, infinito o menos infinito, dependiendo de la expresión.
¿Qué significa que un límite da 'infinito sobre infinito' y cómo se maneja?
-Cuando un límite da 'infinito sobre infinito', significa que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, lo que puede resultar en un límite indeterminado. Para manejar esto, se divide todo por el término con el grado más alto para simplificar y resolver el límite.
¿Cómo se evalúa un límite cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador?
-Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite tiende a infinito, ya que el término con el grado más alto en el numerador crece más rápidamente que el término correspondiente en el denominador.
Si el grado máximo está en el denominador, ¿qué resultado generalmente se obtiene al resolver el límite?
-Si el grado máximo está en el denominador, el resultado del límite generalmente es cero, ya que el término con el grado más alto en el denominador domina y hace que el valor total tienda a cero.
¿Cómo se determina cuál es el grado máximo en una expresión para resolver límites?
-El grado máximo en una expresión se determina por el exponente más alto de la variable x, ya sea en el numerador o el denominador.
¿Qué es la propiedad que se utiliza para evaluar límites cuando se tiene un número dividido por infinito?
-La propiedad utilizada es que un número finito dividido por infinito tiende a cero, ya que el denominador crece sin límite y hace que el valor de la fracción disminuya hacia cero.
¿Cómo se maneja el signo en los límites cuando el grado máximo está en el numerador y se evalúa el límite?
-El signo en los límites es crucial, ya que determina si el límite es infinito, menos infinito o cualquier otra constante. Se debe tener cuidado en mantener el signo correcto al eliminar términos y simplificar la expresión.
Outlines
📘 Introducción al Curso de Límites
El vídeo comienza con una introducción al curso de límites, enfocándose en cómo resolver límites a infinito. Se menciona que este es el tercer vídeo y que asume cierto conocimiento previo. Se recomienda ver los videos anteriores para comprender mejor los conceptos. Se explica que cuando el grado de la expresión en el numerador y el denominador son iguales, el resultado tiende a ser infinito sobre infinito. Se hace una breve mención de que cuando el grado de ambos es igual, el resultado puede ser indeterminado, pero no se detalla en este vídeo.
🔍 Análisis de Límites a Infinito
En este párrafo, el instructor explica cómo abordar los límites a infinito cuando los grados del numerador y denominador son diferentes. Se detalla el proceso de evaluación de límites, destacando la importancia de identificar la indeterminación y cómo proceder cuando hay grados distintos. Se enfatiza la necesidad de dividir por el término con el grado más alto para simplificar la expresión y obtener el resultado del límite. Se ilustra con ejemplos cómo dividir y simplificar para llegar a la conclusión del límite.
📐 Ejemplos de Límites a Infinito
Aquí se presentan ejemplos prácticos para que el espectador aplique los conceptos aprendidos. Se trabaja con expresiones donde el grado máximo es diferente entre el numerador y el denominador. Se muestra paso a paso cómo dividir por el grado más alto y cómo simplificar la expresión para evaluar el límite. Se enfatiza la importancia de hacer la división y simplificación correctamente para obtener el resultado correcto del límite.
📝 Conclusión y Recursos Adicionales
El vídeo concluye con una invitación a suscribirse al canal y visitar el enlace en la descripción para obtener más información sobre el curso de límites. Se ofrecen recursos adicionales y se anima a los espectadores a comentar, compartir y dar like al vídeo. Se menciona que hay más contenido disponible y se alentan a los espectadores a explorar más videos relacionados.
Mindmap
Keywords
💡Límites
💡Infinito
💡Grado de una expresión
💡Indeterminación
💡División de expresiones
💡Numerador y denominador
💡Exponentes
💡Asymptotic behavior
💡Cero dividido por infinito
💡Ejercicios de práctica
Highlights
Bienvenidos al curso de límites y aprendamos sobre límites al infinito.
Se recomienda ver los videos anteriores para comprender mejor los pasos.
Cuando el grado de arriba y el de abajo son iguales, sucede una indeterminación.
Se explica que una constante dividida de cero da infinito en límites a infinito.
Se aborda el caso de límites cuando los grados son diferentes.
Se recordará que cuando se habla de límites a infinito, una constante dividida por infinito da infinito.
Se evalúa el límite para ver si da una indeterminación.
Se explica cómo manejar infinitos al cuadrado y al cubo en una resta.
Se menciona que infinito al cuadrado es mucho más grande que infinito.
Se indica que infinito grande menos infinito pequeño da infinito sobre infinito.
Se detalla el proceso de dividir toda la expresión por x con el grado máximo.
Se explica cómo eliminar x's en el numerador y denominador.
Se menciona que al evaluar límites, los números divididos en infinito tienden a cero.
Se da un segundo ejemplo para practicar el proceso de límites.
Se aborda el caso cuando el grado máximo está en el numerador o denominador.
Se explica que si el grado máximo está abajo, la respuesta es cero.
Se explica que si el grado máximo está arriba, la respuesta es infinito o menos infinito dependiendo del signo.
Se dan ejercicios para practicar los conceptos aprendidos.
Se invita a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de límites y ahora
veremos un ejemplo de solución de
límites al infinito y el ejercicio que
vamos a resolver en este vídeo es este
que es un ejercicio clásico de los
límites a infinito no en el que hay una
división arriba hay términos con la
equis abajo también sí y pues ya vamos a
ver que nos va a dar infinito si ustedes
hasta ahora es el primer vídeo que ven
de límites a infinito les recomiendo que
vean los vídeos anteriores en los que
explico ciertos pasos más detenidamente
porque aquí voy a ir un poco más rápido
por ser el tercer vídeo pero bueno en el
vídeo anterior vimos qué sucedía cuando
el grado de arriba y el de abajo eran
iguales aquí vamos a ver qué sucede
cuando los grados son diferentes antes
tenemos que recordar que cuando hablamos
de límites si pilas que es cuando
hablamos de límites qué sucede esto de
límites a infinito infinito dividido en
una constante de infinito una constante
dividida
pero que esto ya lo vimos y este que no
lo habíamos visto que es que una
constante dividida de 0 da infinito'
vuelvo a decirles esto sucede solamente
para los límites a infinito entonces
empezamos aquí primero lo que hacemos
pues es evaluar el límite a ver si de
verdad nos da una indeterminación que
generalmente cuando hay x arriba y abajo
pues nos va a dar indeterminación por
eso lo voy a hacer rápidamente ya aquí
evaluar el límite recuerden que es
cambiar la x con infinito aquí nos
quedaría 3 x infinito al cuadrado que
eso es infinito más 5 x infinito al cubo
que eso es infinito sobre y abajo dice 2
por infinito al cuadrado que es infinito
menos 3 por infinito que eso es infinito
a quien está resta hay que tener cuidado
porque debemos mirar los infinitos no
aquí dice infinito al cuadrado que eso
daría un infinito muchísimo más grande
que este infinito que es más pequeño
listos
entonces pilas que eso sucede con los
exponentes
aquí sería un infinito grande menos un
infinito pequeño que ésta resultaría
quitándose digámoslo así entonces me da
infinito sobre infinito esto
generalmente la verdad yo inclusive ni
siquiera lo hago como ustedes se dieron
cuenta si vieron el vídeo anterior
esto no lo hice porque como les digo si
hay x arriba y abajo eso generalmente va
a dar infinito sobre infinito entonces
ahora si empezamos y que lo que vamos a
hacer vamos a mirar el grado máximo de
el numerador y del denominador recuerden
que el grado es el exponente de la letra
si aquí dice 3x al cuadrado o sea que
aquí esta expresión es de grado 2 y aquí
dice 5 x al cubo o sea que esto es de
grado 3 en el numerador el grado máximo
es el 3 si ahora vamos a mirar abajo
aquí es grado 2 porque el exponente es 2
y aquí como no hay exponente se sabe que
es un 1 entonces es grado 1
o sea que el grado máximo de abajo es el
2
como les decía aquí vamos a mirar qué
sucede cuando el grado de arriba y de
abajo es diferente porque ya vimos en el
vídeo anterior qué sucede si es igual no
por ejemplo tres y tres
5 y 5 listos entonces lo que vamos a
hacer en el primer paso es lo mismo que
vemos en el vídeo anterior vamos a
dividir todo toda la expresión por equis
con el grado máximo que encontramos no
importa si es arriba o abajo miramos el
grado máximos y en este caso del grado
más grande de los dos es el grado 13
entonces dividimos todo por x al cubo
para eso pues lo que vamos a hacer es
copiar esto nuevamente entonces límite
cuando x tiende a infinito y hacemos la
división y copiamos lo que dice arriba
entonces arriba dice
3x al cuadrado más 5x al cubo y copiamos
lo de abajo 2 x al cuadrado menos 3 x
solo que deje el espacio para dividir
por x alguno acuérdense que es x con el
exponente máximo que nos dio acá
entonces dividido arriba por x al cubo
cada uno de los términos y abajo también
cada uno de los términos x x al cubo
para que acordémonos pues para eliminar
las x que se puedan el numerador y
denominador por si no vieron el vídeo
anterior voy a hacer este primero de la
forma larga no acordémonos que miren
aquí dice 3 x al cuadrado que de la
forma larga sería 3x x x porque esto es
x al cuadrado sobre x al cubo o sea
sería x x x x x lo que hacemos es
eliminar las x que se puedan de arriba
con las de abajo no entonces eliminamos
una x con una x y 2 x con 2 x que nos
queda 3 sobre x ya aquí lo voy a hacer
no entonces eliminamos las 2 x de arriba
con 2 de abajo entonces nos queda una
aquí dice x al cubo y x al cubo entonces
eliminamos las tres de arriba con las
tres de abajo
aquí x al cuadrado y x al cubo entonces
se eliminan las dos de arriba con dos de
abajo y x y x al cubo se elimina la de
arriba con una de abajo entonces abajo
nos quedan dos esto ya lo expliqué en el
vídeo anterior más detenidamente no sin
embargo pues aquí está la explicación
voy a escribir ahora lo que quedó sin
tachar entonces nos quedó límite cuando
x tiende a infinito esto lo sigo
escribiendo porque todavía no hemos
evaluado el límite o sea no hemos
reemplazado las x con infinito y copio
lo que quedó entonces hago la división y
empiezo a escribir lo que quedó sin
tachar entonces arriba dice 3 sobre x +
5
y abajo dice 2 sobre x menos
es sobre x al cuadrado y ahora si
evaluamos el límite que es reemplazar la
x con infinito entonces cuando
reemplazamos las x con infinito aquí
generalmente lo que se hace es tener en
cuenta esta propiedad así que si hay un
número dividido en infinito de a cero
entonces aquí un número dividido en
infinito es toda cero aquí dice más 5
entonces no hay problema aquí un número
dividido en infinito acuérdense que la x
se reemplaza con infinito esto da 0 - y
aquí dice otro número dividido en
infinito eso da 0 entonces escribimos lo
que quedó pilas que cuando evaluamos los
límites voy a mirar aquí voy a hacer
un paso que la verdad no deberíamos
hacerlo sino lo deberíamos hacer
mentalmente es más como se debería ser
mentalmente lo voy a colocar con rojo
entonces arriba que me quedo al evaluar
el límite me quedaron solamente los
números como ya voy a evaluar el límite
ya no vuelvo a escribir esto
me quedaría 05 que eso es 5 sobre y
abajo me queda 0 - 0 que eso es
si vuelvo a decirles esto deberíamos
hacerlo en la mente sí porque porque
cuando hablamos de límites a infinito un
número dividido en cero
si eso es infinito entonces esto que
debemos hacerlo en la mente lo borro
porque aquí como medio 5 dividido en 0
eso es infinito pilas con esto que
acabamos de aprender en este vídeo si
como les enseñé en el vídeo anterior
aquí también hay una forma de ver si nos
queda bien o mal no el grado máximo cuál
era el 3 entonces miramos arriba cuál es
el grado máximo aquí está el grado
máximo que es 3 y abajo no está entonces
que nos debería haber quedado nos
debería haber quedado 5 sobre y abajo
como no está entonces sería 0 que fue lo
que nos dio aquí al final no 5 y abajo
nada o sea 0
vamos a hacer un segundo ejemplo en el
que vamos a ver algo diferente pero como
ya hemos practicado mucho con esto pues
lo vamos a resolver más rápido entonces
aquí tenemos la expresión arriba y xy a
babe x entonces yo simplemente no evalúo
el límite sino ya se sabe que nos va a
dar infinito sobre infinito entonces lo
primero que hacemos es mirar el grado no
el grado arriba acuérdense que es el
exponente de la equis el exponente
máximo aquí es el 5 el 3 el 2 y como no
hay x sería 0 el exponente máximo fue 5
o sea el grado máximo abajo 4 5 y 6 o
sea el grado máximo es el 6 cuál es la
diferencia aquí que miren que el grado
máximo está abajo simplemente pues
cogemos es el grado máximo y acordémonos
que lo que se hace es dividir todo entre
x con el grado máximo o sea x a la 6
pero antes de empezar voy a hacerlo por
lógica no si miramos el grado máximo que
es x a la 6 arriba no hay o sea arriba
sería
y abajo sería el grado máximo es 6 aquí
sí está o sea que el resultado abajo
sería 70 dividido en 7 eso sí ya lo
hemos visto 0 dividido en 7 es 0 o sea
que la respuesta por lógica me va a dar
0 sin embargo vamos a resolverlo primer
paso escribimos toda la expresión pero
dejando el espacio para dividir todo
entre x a la 6 no entonces aquí copiamos
todo igual 4x a las 5 menos 2 x al cubo
más 8 x al cuadrado menos 6 y abajo 2 x
a la 4 menos 3 x a la 5 7 x a las 6 y
dividimos todo por x elevado a las 6 y
las que tenemos que dividir todos los
términos por s x a la seis incluido éste
que no tenía x y para que hacemos esto
para poder eliminar muchísimas de todas
estas x entonces por aquí escribo límite
cuando x tiende a infinito y voy a
escribir la división y de una vez voy a
ir escribiendo lo que me queda entonces
aquí aquí arriba y 5 x
con cinco de las de abajo entonces me
queda 4 sobre x menos aquí se eliminan 3
de las de abajo con el perdón las tres
de arriba con tres de abajo entonces
abajo me quedan tres quedaría 2 sobre x
al cubo más
aquí se eliminan dos de arriba con dos
de abajo entonces abajo me quedan cuatro
sería 8 sobre x a la 4 - y aquí no se
puede eliminar ninguna x entonces queda
6 sobre x a la 6 ahora abajo aquí x a la
4 entonces eliminamos 4 x con 4 de abajo
y nos quedan 2
entonces nos quedó 2 sobre x al cuadrado
luego sí que menos aquí eliminamos 5 x
de arriba con 5 de abajo y nos queda
solamente una osea menos 3 sobre x aquí
más y eliminamos las 6 x de arriba con 6
de abajo y solamente me quedo el 7 sí
aquí sí pilas que no se confundan con
eso que les digo que como no había
máximo grado entonces se colocan ceros y
eso es solamente para mirar el grado y
para mirar por lógica cuanto da no aquí
simplemente pues quedó el 7 sin tachar
quedó el 7 útiles porque a pesar de que
yo hago rápido esto de tachar las x hay
que hacerlo con mucha calma y si ustedes
hasta ahora están aprendiendo piénsenlo
despacito cada
que hagan no entonces ahora si evaluamos
el límite yo voy a escribir por aquí el
resultado entonces reemplazamos cada
equis con infinito aquí nos quedaría 4
sobre infinito que eso es cero aquí dos
sobre infinito que eso es 08 sobre
infinito 0 y 6 sobre infinito que es 0
que me quedó arriba quedo
pero como les decía miren que quedó 0
que era lo que ya hemos visto desde el
comienzo abajo esto es 0 3 sobre
infinito también es cero y aquí dice 7
entonces queda 0 - 0 7 que eso es 7 que
como les decía era lo que ya habíamos
visto y 0 dividido en 7 que eso es 0 y
esta es la respuesta como siempre por
último les voy a dejar un ejercicio para
que ustedes practiquen ya saben que
pueden pausar el vídeo ustedes van a
resolver estos dos límites bueno yo ya
dejé aquí el espacio como para hacer las
divisiones ahorita al final les voy a
dar otro tipo de cómo saber rápidamente
la respuesta no y la respuesta va a
aparecer en 3 2 1 en el primer ejercicio
si miramos el grado de arriba es 1 el
grado de abajo de estrés o sea que el
grado máximo está abajo en el segundo el
grado máximo de arriba es 8 y de abajo
sería 6 osea que el grado máximo está
arriba aquí les doy la conclusión que
iba a decir que les dije ahorita miren
que cuando el grado máximo está abajo la
respuesta siempre va
hacer 0 y cuando el grado máximo está
arriba la respuesta va a ser infinito o
menos infinito de que depende del signo
que esté con ese grado máximo en este
caso como era negativo va a dar negativo
pero bueno aquí como el grado máximo era
3 dividimos todo por x al cubo aquí
eliminamos y nos queda 2 sobre x al
cuadrado aquí eliminamos 1 y nos queda 3
sobre x al cuadrado y aquí eliminamos el
x al cubo con el x al cubo y nos queda
menos 5 entonces esto vale 0 esto
también vale 0 al evaluar y entonces nos
queda 0 dividido en 05 que es menos
cinco entonces cero dividido en menos
cinco pues sigue siendo cero acordémonos
que el cero no tiene signo podrían si
ustedes quieren escribir menos cero pero
generalmente el cero se escribe positivo
en cambio aquí dividimos todo por el
grado máximo que era 8 aquí eliminamos
las 6 de arriba con 6 de abajo y como
arriba no nos queda nada nos queda 1
sobre x al cuadrado pilas con esto aquí
eliminamos 7 y nos
solamente una abajo y aquí en esta parte
eliminamos las 8 con las 8 entonces
solamente nos queda menos 5 abajo
eliminamos 6 con 6 entonces abajo nos
quedan 2 eliminamos 2 con 2 abajo nos
quedan 6 eliminamos unas trabajo nos
quedan 7 y aquí no podemos eliminar nada
entonces nos queda 1 sobre x a la 8
evaluamos el límite entonces aquí esto
vale 0 aquí también 0 aquí no
esto vale 0 0 0 y 0 que nos quedó arriba
dice
0 - 0 5 o sea eso es 5 negativo menos 5
y abajo dice 0 0 0 0 que eso es 0 menos
5 sobre 0 entonces es menos infinito y
lass porque hay que tener mucho cuidado
con esto del signo si a veces va puede
dar infinito así como a veces da
infinito bueno amigos espero que les
haya gustado la clase recuerden que
pueden ver el curso completo de límites
disponibles en mi canal o en el link que
está en la descripción del vídeo o en la
tarjeta que les dejo aquí en la parte
superior los invito a que se suscriban
comenten compartan y le den laical vídeo
y no siento más
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