TEOREMA fundamental del ÁLGEBRA | Comprobando con un EJEMPLO
Summary
TLDREste vídeo explica el Teorema Fundamental del Álgebra, que asegura que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos. Se utiliza el ejemplo de un polinomio de grado 3 para demostrar cómo encontrar sus tres raíces. Seguidamente, se busca los divisores de los coeficientes y se aplica el método de Ruffini para identificar las raíces. El proceso resulta en tres raíces: 1, -3 y 1/2, mostrando que al reemplazar estas valores en el polinomio, este se anula.
Takeaways
- 📚 El teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos, incluyendo multiplicidad.
- 🔢 Se considera un polinomio general de grado n si cada término tiene exponentes descendiendo de n a 0, y los coeficientes varían de a0 a an.
- 🔍 Para encontrar las raíces de un polinomio, primero se identifican los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado.
- 🤔 Se sugiere buscar posibles raíces considerando las divisiones de los coeficientes y el término independiente, tanto en forma positiva como negativa.
- 📉 Se utiliza el método de Ruffini para probar las posibles raíces, reduciendo el polinomio y verificando si el resultado es cero.
- ✅ Se confirma que el 1 es una raíz del polinomio dado, ya que al reemplazarlo en el polinomio se obtiene un resultado de cero.
- ➗ Al encontrar una raíz, el grado del polinomio disminuye, lo que simplifica el proceso para encontrar las demás raíces.
- 🔄 Una vez que se encuentra una raíz, se utiliza para dividir el polinomio original y obtener uno de menor grado, facilitando la búsqueda de la siguiente raíz.
- 📉 El proceso se repite hasta encontrar todas las raíces, que son los valores que hacen que el polinomio sea cero cuando se les sustituye a x.
- 📌 Al final, se listan las raíces del polinomio como x = 1, x = -3 y x = 1/2, demostrando que son los ceros del polinomio.
Q & A
¿Qué es el teorema fundamental del álgebra?
-El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces o ceros en los números complejos, incluyendo las raíces repetidas.
¿Cómo se define un polinomio general en términos de su grado y coeficientes?
-Un polinomio general se define por su grado, que es el exponente de la variable x en el término de mayor grado, y por sus coeficientes, que son los números que multiplican cada término del polinomio.
¿Cuál es la relación entre el grado de un polinomio y el número de raíces que puede tener?
-El grado de un polinomio indica el número máximo de raíces que puede tener, es decir, un polinomio de grado n puede tener hasta n raíces en el conjunto de los números complejos.
¿Cómo se identifican los posibles divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado en un polinomio?
-Los posibles divisores se identifican buscando los números que dividen al término independiente y al coeficiente del término de mayor grado del polinomio. Estos divisores pueden ser positivos o negativos.
¿Qué método se utiliza para encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 en el ejemplo del video?
-Se utiliza el método de los posibles divisores, donde se consideran las divisiones de los coeficientes del término independiente y del término de mayor grado, y se evalúan en el polinomio para verificar si son raíces.
¿Qué significa que un número sea una raíz de un polinomio?
-Un número es una raíz de un polinomio si, al sustituirlo en el polinomio, el resultado es cero. Esto indica que el polinomio se anula en ese punto.
¿Cómo se aplica el método de Ruffini para reducir el grado de un polinomio una vez que se ha encontrado una raíz?
-El método de Ruffini implica dividir el polinomio original por el polinomio que resulta de la fórmula (x - raíz encontrada), lo que reduce el grado del polinomio y facilita encontrar las demás raíces.
¿Cuál es la importancia de reducir el grado de un polinomio tras encontrar una de sus raíces?
-Reducir el grado de un polinomio tras encontrar una raíz es importante porque simplifica el proceso de encontrar las demás raíces restantes, ya que se trabaja con un polinomio de menor grado.
¿Cómo se determina si un número es una raíz del polinomio utilizando el método de Ruffini?
-Se determina si un número es una raíz del polinomio sustituyéndolo en el polinomio y viendo si el resultado es cero. Si lo es, el número es una raíz; si no, no lo es.
¿Qué sucede cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio?
-Cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio, se pueden escribir en la forma de factores del polinomio, lo que permite representar el polinomio como el producto de sus factores correspondientes a cada raíz.
Outlines
📘 Introducción al Teorema Fundamental del Álgebra
El primer párrafo introduce el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos, incluyendo las raíces repetidas. Se explica que un polinomio general de grado n se compone de términos con exponentes descendiendo de n a 0, y los coeficientes de estos términos son los números naturales mayores que 0. El ejemplo dado es el polinomio p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3, un polinomio de grado 3, por lo que debe tener tres raíces. Se describe el primer paso para encontrar estas raíces, que es buscar los divisores del término independiente (3) y del coeficiente del término de mayor grado (2), considerando tanto valores positivos como negativos.
🔍 Búsqueda de Raíces a través de Divisores
Este párrafo detalla el proceso de buscar posibles raíces a partir de los divisores del polinomio p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3. Se calculan los posibles valores dividiendo los divisores del término independiente (1 y 3) entre los del coeficiente del término de grado mayor (1 y 2), resultando en ocho valores en total. Se enfatiza que, aunque se han encontrado ocho valores, solo tres de ellos corresponderán a las raíces del polinomio. Se introduce el método de Ruffini para verificar cuáles de estos valores son realmente raíces del polinomio.
🎓 Aplicación del Método de Ruffini y Hallazgo de Raíces
El tercer párrafo describe el uso del método de Ruffini para determinar las raíces del polinomio. Seguidamente, se prueban los valores previamente encontrados, descartando a los que no cumplen con la condición de hacer cero el polinomio. Se encuentran las raíces 1, -1/2 y 3/2, y se explica que al encontrar cada raíz, el grado del polinomio disminuye. Finalmente, se resuelve el polinomio reducido de grado 2 para encontrar la última raíz, que resulta ser -3. El vídeo concluye con la lista de las tres raíces del polinomio: 1, -3 y 1/2, y se invita al espectador a seguir el canal y activar las notificaciones para no perderse futuros contenidos.
Mindmap
Keywords
💡Teorema Fundamental del Álgebra
💡Polinomio
💡Grado de un Polinomio
💡Coeficientes
💡Raíces del Polinomio
💡Divisores
💡Ruffini
💡Residuo
💡Monomios
💡Campo de los Números Complejos
Highlights
El teorema fundamental del álgebra asegura que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos.
Un polinomio general se define por su grado y coeficientes, donde el grado es el exponente máximo de la variable x.
Los coeficientes de un polinomio son los números que multiplican cada término, comenzando desde el grado más alto hasta el término independiente.
Para encontrar las raíces de un polinomio, se busca primero los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado.
Los divisores de un número son considerados tanto en sus formas positivas como negativas.
Se calculan posibles raíces dividiendo el coeficiente del término de mayor grado entre el término independiente.
Se evalúan las posibles raíces sustituyéndolas en el polinomio y utilizando el método de Ruffini para reducir el grado.
El método de Ruffini es una técnica para determinar si una raíz es válida al reducir el polinomio y verificar si el resultado es cero.
Se identificó que 1 es una raíz del polinomio dado, reduciendo así el grado del polinomio.
Después de encontrar una raíz, el polinomio se divide por (x - valor de la raíz) para reducir su grado.
Se demuestra que -1 no es una raíz del polinomio dado.
Se encuentra que 1/2 (un medio) es una raíz del polinomio, lo que lleva a una reducción en el grado del polinomio.
Tras obtener dos raíces, el polinomio se reduce a un grado 1, lo que permite encontrar la última raíz a través de un simple cálculo.
La última raíz encontrada es -3, completando así las tres raíces del polinomio de grado 3.
Las tres raíces del polinomio son 1, -3 y 1/2, demostrando que satisfacen la ecuación original al hacer cero el polinomio.
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Transcripts
[Música]
saludos en este vídeo vamos a ver el
teorema fundamental del álgebra
el teorema fundamental del álgebra nos
dice que si nosotros tenemos
un polinomio de esta forma como el que
tenemos aquí en x solo en la variable x
con exponente en ese que éste es un
polinomio general
porque el exponente que tiene cada
variable tiene a n este es un polinomio
de grado n donde le sigue descendiendo
al siguiente término
n1
n2 n3 y así sucesivamente
n son los números naturales en es mayor
que 0
y estos números que están aquí a su 0 a
su 1 a 2 y así sucesivamente
son los coeficientes de cada término
y nos dice el teorema fundamental que
este polinomio
tiene exactamente
n raíces o ceros dentro de los complejos
incluyendo aquellas raíces que se
repiten porque a veces estamos buscando
las raíces de un polinomio y aparecen
raíces que se repiten
tenemos este polinomio p de x que es 2 x
al cubo más 3 x al cuadrado menos 8 x +
3 y me piden hallar las raíces
como este es un polinomio de grado 3
entonces nos dice el teorema fundamental
que este polinomio tendrá exactamente
tres raíces o tres ceros
dentro del conjunto de los números
complejos
vamos a ver como nosotros conseguimos
esas tres raíces
el primer paso que debemos realizar es
buscar los divisores el término
independiente y los divisores del
coeficiente del término del grado mayor
entonces los divisores son tres y uno
son aquellos números en el cual es el
número se puede dividir el 3 solo se
divide entre 1 y se divide entre 3
entonces escribimos aquí
divisores términos independientes del
término independiente los divisores son
1 y 3 pueden ser positivo y también
negativo
vamos a buscar los divisores el segundo
paso los divisores del coeficiente del
término del grado mayor que es 3 vamos a
buscar los divisores que estos son el 2
y el 1 porque el 2 solo se divide entre
1 y entre dos
divisores coeficiente del término de
grado del polinomio
como es de grado 3 entonces buscamos los
emisores de este número del coeficiente
2 solo se divide entre el 1 y se divide
entre el 2 el 3 entre 3 y se divide
entre 1
escribimos aquí posibles raíces o ceros
se toman estos valores y se dividen cada
uno entre éstos sólo estos entre estos
ejemplos 1 entre 1
pero aquí 1 entre 11
tomamos el 1 y lo dividimos entre 2 pero
aquí
1 / 2 como no se puede simplificar más
lo dejamos así
ahora tomamos el 3 entre 1 y eso es 3 3
entre 13
tomamos el 3 entre 2
3 / 2 como no se puede simplificar lo
dejamos así entonces
estos valores tan positivos y negativos
cada uno vamos a escribirlo aquí y aquí
el 1 positivo y negativo
el medio positivo y negativo el 3
positivo y negativo 3 sobre 2 positivo y
negativo
aquí hay 8 valores porque está el 1
positivo y negativo son 2 un medio
positivo negativo son 2 2 son 4 ya que
hay 2 6 y aquí 868 raíces pero recuerden
que esto es de grado 3 de esa 8 solo 3
de aquí son las que
pertenecen a este polinomio y vamos a
investigar lo vamos a quitar esto
y vamos a aplicar ruffini
recordemos que su fin y se aplica de la
siguiente manera
escribimos
estas dos líneas contándose aquí
tomamos los coeficientes de cada término
incluyendo el término independiente
tomamos el 2 lo escribimos aquí
el 3 lo escribimos aquí
menos 8 15 que lo estamos tomando sin la
variable y el 3
y vamos probando con cada uno de ellos
aquí hay 8 cada uno primero tomamos el 1
positivo no puede ser negativo primero
como ya lo vamos a tomar y lo escribimos
aquí el 1
bajamos este 2
multiplicamos 2 por 12 y lo escribimos
aquí
reducimos aquí
325 si al final aquí nos da 0 eso
significa entonces que ese que ese 1 es
una raíz de este polinomio ese 5
volvemos y lo multiplicamos por el 15
por 15 lo ponemos aquí menos 8 más 5
menos tres multiplicamos menos tres por
uno menos tres lo escribimos aquí
3 - 30 como aquí nos dio 0 decimos que
sí que el 1 es una raíz de este
polinomio por lo tanto ya tenemos que x
es igual a 1 ya tenemos una raíz ahora
vamos a tomar estos coeficientes
numéricos estos números y probar con el
menos 1
vamos a escribir aquí
nuestra 2 línea pero aquí tomamos el 2
el 5 y el -3
traemos ahora el -1 porque ya usamos el
1 y lo escribimos aquí
hacemos lo mismo que hicimos aquí que
bajamos el 2 bajamos este 2 aquí
y multiplicamos 2 x menos 1 - 2
5 - 23 y ese 3 por lo menos 1 - 3
escribimos aquí
menos tres y menos tres eso es menos 6 y
desde que resultado que dio aquí no es
como aquí 0 por lo tanto menos 1 no es
una raíz es el polinomio decimos que no
ya probamos con el unir menos un solo el
1 es raíz vamos ahora a probar como un
medio positivo y un medio negativo
tomaremos un medio negativo para
probarlo vamos a cambiar estos valores
ahora bajamos el 2
multiplicamos 2 por menos uno menos dos
entre 2 - 1 lo escribimos aquí
cinco menos
144 por lo menos 1 se multiplica por el
de arriba 4 por menos uno menos 4 entre
2 - 2 escribimos aquí
los dos tienen signos iguales se suman y
me da menos 5 y si se fían el resultado
no es cero por lo tanto menos un medio
no es raíz decimos que no íbamos a
utilizar el medio positivo
dejaremos estos valores y cambiaremos
aquí por un medio aquí está ahora
hacemos lo mismo vamos el 2
multiplicamos 2 por 1 2 entre 2 a 1 lo
colocamos aquí 5 más 1 6 6 por 16 entre
2 3 positivo ahora tres menos 3 eso es
cero como 'dios 0 y resido porque esto
representa el residuo esto significa que
un medio es una raíz de este polinomio
decimos entonces que si es y lo podemos
escribir aquí x es igual a un medio
ok tenemos 2 raíces pero recordemos que
es de grado 3 cuando consigamos la otra
ya y terminamos pero fíjense aquí cada
vez que encontramos una raíz el grado
del polinomio va descendiendo
empezamos con el grado 3 aquí tenemos el
grado 2 conseguimos una raíz que fue
esta y aquí tenemos grado 1 ya aquí no
hay que usar este procedimiento sino que
éste representa 2x +
6
tomamos 2 x medio aquí + 6 y luego
hablamos 0 porque tenemos un polinomio
de dos términos lineales de primer grado
entonces lo igualamos a cero para
encontrar la otra raíz
vamos s 6 positivo pasarlo para el otro
lado cambiando el signo menos 6
aquí está el objetivo menos 6 ahora es
el 2 que está multiplicando la equis
pasa dividiendo debajo de menos 6 quien
lo aquí dividimos menos entre más menos
6 / 23 - 3
entonces ya concebimos tres raíces
x este igual a menos 3 a 1 y a un medio
entonces podemos quitar todo esto y
escribirlo aquí para decir que las
raíces o 0 del polinomio de x que es
este son el 1 que conseguimos el menos 3
y un medio que significa que estos
valores que si nosotros cambiamos esa x
por el 1 aquí aquí y aquí esto resulta
un 0 al final o si la cambiamos por
menos 3
y aquí y aquí también eso dará 0 o si
tomamos un medio y cambiamos a x por
medio también dará a 0 por eso se llaman
raíces o ceros del polinomio
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