Derivada de una función usando la definición | Ejemplo 2
Summary
TLDREl video ofrece una introducción a la derivación de funciones utilizando la definición de derivada. El ejemplo central es la función f(x) = x^2, y se utiliza la definición de derivada como el límite cuando h tiende a cero. El presentador sugiere escribir f(x+h) en lugar de f(x) para facilitar el proceso. Seguidamente, se resuelve el límite pasando por los pasos de la expansión del cuadrado de un binomio, factorización y simplificación hasta llegar a la eliminación de términos y finalmente a la derivada de la función. El video incluye una recomendación de escribir siempre f(x+h) y de factorizar para facilitar la eliminación de h. El presentador concluye con un ejercicio para que los espectadores practiquen y les invita a suscribirse y a seguir el curso completo de derivadas en su canal o a través del enlace proporcionado.
Takeaways
- 📚 Aprender a calcular derivadas utilizando la definición de límite.
- 🔢 Familiarizarse con la notación de delta x o h en la definición de derivada.
- 📈 Comprender que f(x + h) es la función evaluada en x más h.
- 💡 Utilizar paréntesis alrededor de la variable para facilitar la manipulación algebraica.
- 🧮 Realizar operaciones algebraicas y factorizar para eliminar el término h.
- 📐 Recordar la fórmula del cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- 📉 Identificar y eliminar términos que se cancelan mutuamente en la expresión.
- 🔑 Factorizar h en los términos restantes para su posterior eliminación al tomar el límite.
- ➗ Resolver el límite reemplazando h por cero para encontrar la derivada.
- 📝 Practicar con ejercicios similares para consolidar el aprendizaje.
- 📚 Acceder al curso completo de derivadas en el canal o a través del link proporcionado.
Q & A
¿Qué función se utiliza como ejemplo para encontrar la derivada en este curso?
-Se utiliza la función f(x) = x al cuadrado como ejemplo para encontrar la derivada en este curso.
¿Cuál es la definición de derivada que se utiliza en el curso?
-La definición de derivada utilizada en el curso es el límite cuando h tiende a cero de (f(x+h) - f(x))/h.
¿Por qué se recomienda utilizar paréntesis alrededor de 'x' en 'f(x+h)'?
-Se recomienda utilizar paréntesis alrededor de 'x' en 'f(x+h)' para evitar confusiones y para que sea más claro que se está tomando el valor de la función en el punto 'x+h'.
¿Qué es el binomio y cómo se utiliza en la derivación de 'f(x+h)'?
-El binomio es un polinomio de grado dos, que en este caso es (x+h). Se utiliza en la derivación de 'f(x+h)' para expandir y simplificar la expresión al cuadrado de 'x+h'.
¿Cómo se resuelve el cuadrado de un binomio?
-El cuadrado de un binomio se resuelve usando la fórmula (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, donde 'a' es el primer término y 'b' es el segundo término.
¿Qué pasos se siguen para eliminar 'h' en la expresión de la derivada?
-Primero se factoriza 'h' en la expresión, luego se simplifica la expresión y finalmente, al reemplazar 'h' con cero, se obtiene la derivada.
¿Por qué es importante factorizar 'h' en la expresión?
-Es importante factorizar 'h' para poder eliminarlo en la expresión, ya que esto permite simplificar la expresión y encontrar la derivada de la función.
¿Cómo se resuelve el límite cuando 'h' tiende a cero?
-Se resuelve el límite reemplazando 'h' con cero en la expresión, lo que permite obtener la derivada de la función.
¿Qué es el resultado de la derivada de la función f(x) = x al cuadrado?
-El resultado de la derivada de la función f(x) = x al cuadrado es 2x.
¿Qué se recomienda hacer después de encontrar la derivada de una función?
-Se recomienda practicar con más ejercicios para fortalecer la comprensión y la habilidad en la derivación de funciones.
¿Dónde se puede encontrar el curso completo de derivadas mencionado en el video?
-El curso completo de derivadas se puede encontrar en el canal del instructor o en el enlace proporcionado en la descripción del video o en la tarjeta que se muestra en la parte superior del video.
Outlines
📚 Introducción al cálculo de derivadas usando la definición
Este primer párrafo presenta el tema del curso, que es el cálculo de derivadas. Se menciona que se utilizará la definición de derivada a través del límite, y se hace referencia a un video anterior donde se explicó la fórmula de la derivada. Además, se aborda la elección de usar 'h' o 'delta x' en la definición, y se ofrece una recomendación para escribir de manera más clara la función f(x) + h. Seguidamente, se comienza a aplicar la definición de derivada al ejemplo de la función f(x) = x^2, explicando el proceso paso a paso y destacando la importancia de factorizar para eliminar el término 'h'.
🔍 Proceso detallado para calcular la derivada de f(x) = x^2
En este segundo párrafo se profundiza en el cálculo de la derivada de la función f(x) = x^2. Seguidamente, se resuelve el límite cuando h tiende a cero, aplicando la definición de derivada y el concepto de cuadrado de un binomio. Se destaca la importancia de factorizar para eliminar el término 'h' y se resalta que los estudiantes a menudo encuentran difícil este paso, pero se aclara que no es tan complicado. Finalmente, se resuelve el límite reemplazando 'h' por cero, encontrando así la derivada de la función y se invita a los estudiantes a practicar con un ejercicio similar.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas
💡Definición de derivada
💡Límite
💡Función f(x) = x^2
💡Delta x o h
💡
💡Factorización
💡Binomio
💡Expansión del cuadrado de un binomio
💡Ejercicio de derivadas
💡Curso de derivadas
💡Canal y enlace
Highlights
El curso de derivadas comienza con un ejemplo práctico de cómo encontrar la derivada de una función utilizando la definición de derivada.
Se utiliza la fórmula de la derivada que fue explicada en un video anterior.
Se recomienda escribir f(x + h) en lugar de f(x + Δx) para facilitar el cálculo.
Se sugiere siempre hacer f(x + h) y no solo f(x) al aplicar la definición de derivada.
Se proporciona una técnica para escribir paréntesis alrededor de términos complejos como x^2 + 5x para facilitar su manipulación en derivadas.
Se destaca la importancia de factorizar la variable h para eliminarla en la expresión de la derivada.
Se resalta que los estudiantes a menudo encuentran difícil el proceso de factorización y eliminación de h, pero se aclara que es fundamental para resolver el límite.
Se aplica el concepto del cuadrado de un binomio, que es crucial en el cálculo de derivadas.
Se resalta que el cuadrado de un binomio se resuelve como (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.
Se muestra cómo se eliminan términos opuestos en la expresión de la derivada, como x^2 - x^2.
Se factoriza la h en la expresión para poder reemplazarla por cero al final del cálculo.
Se aclara que la h se elimina solo después de la factorización, no antes.
Se resuelve el límite cuando h tiende a cero, lo que resulta en la derivada final de la función.
Se proporciona un ejercicio para que los estudiantes practiquen el proceso aprendido, con la respuesta revelada en tres, dos, uno.
Se recomienda pausar el video para que los estudiantes puedan practicar el ejercicio por su cuenta.
Se ofrece un enlace al curso completo de derivadas en el canal del instructor o en la descripción del video.
Se invita a los estudiantes a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video para recibir más contenido similar.
Se cierra el video con un mensaje de despedida amigable.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de derivadas y
ahora veremos un ejemplo de solución de
derivadas usando la definición y en este
vídeo vamos a encontrar la derivada de
esta función f x igual a x al cuadrado
obviamente vamos a utilizar la
definición de derivada que es el límite
no del que ya hablamos en el vídeo
anterior en el que les expliqué por qué
esta es la fórmula de la derivada
primera declaración en algunos libros o
algunos profesores explican esta misma
pero no utilizan la h si no utilizan
delta x es lo mismo si a mí me gusta
utilizar la h porque me parece como más
fácil de hacer los ejercicios pero eso
es lo de menos
entonces como les digo en algunos libros
dice aquí x + delta x menos f x sobre en
lugar de h dice delta x bueno vamos a
hacer esta derivada por ser el segundo
vídeo pues voy a ir un poco de espacio
todavía no primera recomendación que les
voy a dar miren que aquí dice efe de x
eso ya lo conocemos
fx es x al cuadrado pero también dice fx
más h entonces la recomendación es
siempre hagamos efe de x + h y verán que
les va a parecer muy sencillo que fx más
h eso ya lo vemos en el vídeo anterior
pero lo vamos a hacer
fx más h la recomendación que yo les doy
es esto mismo pero en lugar de la x
vamos a escribir un paréntesis osea en
este caso sería x al cuadrado ya no
hablamos en el vídeo anterior no y
dentro del paréntesis que colocamos esto
x + h si no es más simplemente un
paréntesis por cada vez que esté la x si
por ejemplo dijera x al cuadrado más 5 x
entonces sería un paréntesis al cuadrado
menos 5 y un paréntesis y dentro de cada
paréntesis colocamos x + h ahora sí
vamos a empezar a utilizar la definición
de derivada vamos a ver que con esto es
muy sencillo
entonces voy copiando por aquí límite
cuando h tiende a cero de miren aquí
efe xh pero yo ya sé cuánto es fx h eso
es x + h al cuadrado
luego sigue menos
fx que fx mírenlo aquí lo dice f x es x
al cuadrado
y luego dice sobre h entonces
simplemente copiamos esa parte igualdad
sobre h miren que la la verdad lo que yo
he visto es que los estudiantes lo que
les parece difícil es esto pero si se
dan cuenta no tienen nada y complicado
seguimos aquí resolviendo el límite lo
que tenemos que hacer es hacer las
operaciones siempre arriba hacer las
operaciones y factorizar la h para
poderla eliminar entonces aquí sigo
copiando el límite cuando h tiende a
cero y hago las operaciones miren que
aquí es el cuadrado de un binomio y
pilas con este concepto porque lo vamos
a utilizar mucho en derivadas no el
cuadrado de un binomio acordémonos que
se resuelve haciendo el primero al
cuadrado más dos veces el primero por el
segundo más el segundo al cuadrado
entonces vamos a aplicar eso aquí el
primero es la equis y el segundo es la h
entonces el primero al cuadrado o sea x
al cuadrado
más si 2
por el primero por el segundo el primero
que es la equis por el segundo que es la
h
y luego más el segundo al cuadrado o sea
más el segundo que es la h al cuadrado
miren que esto no es sino solamente lo
del paréntesis al cuadrado no luego
sigue menos x al cuadrado sobre h
entonces esa h de abajo si simplemente
la copiamos aquí siempre va a suceder en
todos los ejercicios va a suceder algo
similar a este a lo que va a suceder
aquí que es que vamos a poder eliminar
varias varios términos en este caso
solamente es 1 pero puede que se
eliminen varios miren que aquí dice x al
cuadrado y menos x al cuadrado como son
iguales pero con signos diferentes se
eliminan que nos quedó 2x h
+ h al cuadrado generalmente todo lo que
está aquí va a quedar con la letra h
porque porque se va a poder factorizar
entonces eso es lo que voy a hacer ahora
voy a factorizar la h aquí dice el
límite cuando h tiende a 0
y aquí actualizamos la h arriba entonces
sería h factor de porque ese factor hizo
pues porque está en los dos términos
entonces aquí factor de 2x
más
y aquí la h al cuadrado factor de h
simplemente es quitarle una h aquí
quedaría 2x y que darle una h a estas
dos que están aquí y queda una sin
embargo esto lo aclaré en el vídeo de
introducción no los invito a que lo vean
para que esto les quede muy sencillo
aquí simplemente ya quedaría sobre y
seguimos copiando abajo la h como les
decía para que factor izamos esa h
porque la idea era eliminar esta h de
abajo y pues solamente se puede eliminar
cuando factor izamos la h pilas porque
aquí no se puede eliminar la h porque
arriba y una suma si hay sumas o restas
no se puede seguramente es cuando la h
ésta factorizar y como ya eliminamos la
h entonces ahora si resolvemos el límite
o sea ya no vuelvo a copiar esto porque
ya lo voy a resolver o sea ya voy a
reemplazar la h con cero entonces copio
esto pero en lugar de la h
copio 0 o sea sería 2x +
pero bueno esto no debía haberlo hecho
porque pues ya sabemos que 2 x 0 es 2
y esta es la derivada de la función o
sea aquí yo puedo colocarle f de x
derivada incluso aquí debía haberle de
tanto colocado
efe derivada de x no como siempre por
último les voy a dejar un ejercicio para
que ustedes practiquen ya saben que
pueden pausar el vídeo la derivada que
ustedes van a encontrar es la derivada
de esta función y la respuesta va a
aparecer en 321 primero que toda la
recomendación que les di que era
encontrar fx más h entonces copiamos
esto pero en lugar de la x son
paréntesis o sea dos paréntesis al
cuadrado y en lugar de dentro del
paréntesis escribimos x + h ahora si
pasamos a resolverlo entonces límite
cuando h tiende a cero de fx más h que
es esto o sea 2 por x + h al cuadrado
menos f x o sea menos esto 2 x al
cuadrado sobre h aquí lo mismo el
cuadrado del binomio primero que todo
entonces queda el 2 y primero al
cuadrado más dos veces el primero por el
segundo que es x h más el segundo al
cuadrado
ese es el cuadrado y ahora tenemos que
seguir con menos
2 x al cuadrado ahora aquí había algo
nuevo que es este 2 lo multiplicamos por
cada uno de los términos que están
dentro del paréntesis entonces 2 x x al
cuadrado luego 2 x 24 x h y luego 2 x h
al cuadrado menos este 2 x al cuadrado
como les decía siempre va a suceder esto
miren que aquí dice 2x al cuadrado menos
2 x al cuadrado entonces se eliminan y
aquí nos quedaron términos que tienen la
h entonces factor izamos esa h aquí si
quitamos la udg y queda 4x y si creamos
una de las dos h queda 2 h eliminamos y
ya después de eliminar podemos
reemplazar la h con 0 entonces
simplemente copio 4x + 2 por 0 2 por 0
es 0 o sea que 4 x + 0 que es 4x y esto
es la derivada de la función bueno
amigos espero que les haya gustado la
clase recuerden que pueden ver el curso
completo de derivadas disponible en mi
canal o en el link que está en la
descripción del vídeo o en la tarjeta
que les dejo aquí en la parte superior
los invito a que se suscriban comenten
compartan y le den laical vídeo y no
siendo más bye bye
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