Introducción a la combinatoria. Principios fundamentales del conteo
Summary
TLDREste vídeo presenta los conceptos fundamentales del cálculo combinatorio, incluyendo permutaciones, variaciones y combinaciones. La profesora Mónica Martín explica cómo contar sin enumerar directamente todos los casos posibles, utilizando técnicas como el principio de adicción y multiplicación. Se destacan ejemplos sencillos para ilustrar cómo aplicar estas técnicas en situaciones cotidianas, como formar números con dígitos específicos o elegir platos en un restaurante.
Takeaways
- 😀 El análisis combinatorio es una parte de las matemáticas que se dedica a contar sin enumerar todos los casos posibles de un suceso.
- 🎓 La profesora Mónica Martín del PSOE, de la Universidad Rey Juan Carlos, imparte este módulo de cálculo combinatorio.
- 🔢 Se explican conceptos fundamentales como permutaciones, variaciones y combinaciones, que son estrategias de recuento de casos.
- 🚌 Se utilizan ejemplos prácticos para ilustrar cómo contar elementos de un conjunto y cómo se aplican estos conceptos en situaciones reales.
- 📐 Se introducen los principios básicos del conteo: el principio de adicción y el principio de multiplicación.
- 🚦 El principio de adicción se aplica cuando los sucesos no pueden ocurrir simultáneamente, y se suman los elementos de los conjuntos.
- 🔄 El principio de multiplicación se aplica cuando los sucesos son independientes y se multiplican los elementos de los conjuntos.
- 🍽️ Se da un ejemplo de cómo calcular el número de opciones para comer en un restaurante usando el principio de multiplicación.
- 🔢 Se explica cómo formar números pares de cuatro cifras usando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y se aplica el principio de multiplicación.
- 📝 Se menciona que en el siguiente vídeo se definirán y se explicarán fórmulas para permutaciones, variaciones y combinaciones con y sin repetición.
Q & A
¿Qué es el análisis combinatorio?
-El análisis combinatorio es una parte de las matemáticas que proporciona una serie de métodos de conteo para calcular de cuántas maneras distintas puede ocurrir un determinado suceso.
¿Cuál es la diferencia entre la combinatoria y enumerar directamente todos los casos posibles?
-La combinatoria es el arte de contar sin enumerar directamente todos los casos posibles que pueden darse en un suceso determinado, facilitando el recuento de los casos o resultados de un experimento aleatorio sin tener que enumerar todos ellos.
¿Cómo se define un conjunto base en el análisis combinatorio?
-Un conjunto base es el conjunto dado de elementos a partir del cual se pueden formar los diferentes subconjuntos o agrupaciones.
¿Qué es el principio de adicción en el análisis combinatorio?
-El principio de adicción, también conocido como regla de la suma, establece que si un suceso A puede ocurrir de m maneras y otro suceso B puede ocurrir de n maneras, entonces el suceso A o B puede ocurrir de m + n maneras, siempre que A y B sean sucesos disjuntos.
¿Cuál es la regla de multiplicación en el análisis combinatorio?
-La regla de multiplicación, o principio de multiplicación, indica que si un suceso A puede ocurrir de m maneras y, independientemente, un suceso B puede ocurrir de n maneras, entonces el suceso compuesto A y B puede ocurrir de m * n maneras.
¿Cómo se calculan los números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 1 y 8?
-Los números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 1 y 8 son 11, 18, 81 y 88, por lo que hay solo 4 números posibles.
¿Cuál es la importancia de las técnicas de conteo en el análisis combinatorio?
-Las técnicas de conteo en el análisis combinatorio son importantes porque facilitan el recuento de los casos o resultados de un experimento aleatorio sin tener que enumerar todos ellos, permitiendo así responder de una forma más rápida y sencilla a las preguntas.
¿Qué son las permutaciones en el contexto del análisis combinatorio?
-Las permutaciones son una técnica de conteo en la que el orden de los elementos es importante, y se diferencian de las combinaciones en que no importa el orden de los elementos.
¿Cómo se define una variación en el análisis combinatorio?
-Una variación es una agrupación de elementos donde el orden no importa, pero se pueden o no repetir los elementos, y se diferencia de las permutaciones en que estas últimas son un caso particular de variaciones donde el orden importa.
¿Cuál es la fórmula para calcular el número de números pares de cuatro cifras que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si estos pueden repetirse?
-Si los dígitos pueden repetirse, la fórmula para calcular el número de números pares de cuatro cifras es 6 (posibilidades para la primera cifra) * 7 (posibilidades para la segunda y tercera cifras) * 4 (posibilidades para la última cifra, que debe ser par), dando un total de 1,176 números pares.
Outlines
📚 Introducción al Análisis Combinatorio
Este primer párrafo presenta el módulo de cálculo combinatorio de un curso de matemáticas, impartido por Mónica Martín del PSOE, profesora de la Universidad Rey Juan Carlos. Se menciona que el módulo abordará conceptos fundamentales como permutaciones, variaciones y combinaciones. Se enfatiza la importancia del análisis combinatorio para contar de manera eficiente sin enumerar directamente todos los casos posibles en un evento dado. Se ilustra con ejemplos cómo calcular el número de números de dos cifras formados por los dígitos 1 y 8, y se compara con el desafío de calcular números de 15 cifras con los mismos dígitos. Además, se mencionan situaciones más complejas como sentar niños en un autobús o calcular las formas en que corredores pueden llegar a la meta en una carrera. Se introducen los principios básicos del conteo, como el principio de adicción y el principio de multiplicación, y se explica cómo estos principios se aplican a situaciones prácticas, como el transporte público y los menús de restaurantes.
🔢 Permutaciones, Variaciones y Combinaciones
El segundo párrafo profundiza en los conceptos de permutaciones, variaciones y combinaciones, que son técnicas clave en el análisis combinatorio para agrupar elementos de un conjunto de maneras distintas. Se explica que si el orden de los elementos importa, se trata de variaciones o permutaciones; si no importa, se habla de combinaciones. Se introduce la distinción entre estos métodos de conteo basándose en si se utilizan todos los elementos disponibles y si los elementos pueden repetirse. Se presenta una tabla que resume las diferentes posibilidades y sus fórmulas correspondientes, según las restricciones impuestas. Se promete que en el siguiente vídeo se definirán y se proporcionarán fórmulas de cálculo para cada una de estas técnicas de conteo.
Mindmap
Keywords
💡Análisis Combinatorio
💡Permutación
💡Variación
💡Combinación
💡Conjunto Base
💡Principio de Adicción
💡Principio de Multiplicación
💡Cardinal de un Conjunto
💡Sucesos Disjuntos
💡Sucesos Independientes
Highlights
Introducción al análisis combinatorio y repaso de técnicas básicas para contar elementos de un conjunto.
La combinatoria es el arte de contar sin enumerar directamente todos los casos posibles.
Ejemplo de formar números de dos cifras con los dígitos 1 y 8.
Comparación entre la facilidad de contar números de dos cifras y la complejidad de números de 15 cifras.
Importancia de técnicas que faciliten el recuento de casos sin enumerar todos.
Definición de conjunto base y su relación con subconjuntos y agrupaciones.
Distinción entre agrupaciones con y sin repetición de elementos.
Importancia del orden de colocación de los elementos en la formación de grupos.
Diferenciación entre variación, permutación y combinación con y sin repetición.
Recordatorio de los principios básicos del conteo: principio de adicción y principio de multiplicación.
Ejemplo de transporte público para ilustrar el principio de adicción.
Ejemplo de menú de restaurante para ilustrar el principio de multiplicación.
Ejemplo de formación de números pares de cuatro cifras con dígitos 0 1 2 3 4 5 y 6.
Aplicación de la regla del producto para calcular la cantidad de números pares formables.
Mencion de la necesidad de fórmulas sencillas para el recuento en situaciones específicas.
Resumen de las opciones de permutación, variación y combinación con sus fórmulas correspondientes.
Agradecimiento y anuncio del siguiente vídeo para la definición de conceptos y fórmulas de cálculo.
Transcripts
i
[Música]
hola a todos bienvenidos a este nuevo
módulo del curso cero de matemáticas mi
nombre es mónica martín del psoe soy
profesor de la universidad rey juan
carlos en los vídeos correspondientes a
este módulo repasaremos los conceptos
fundamentales del cálculo combinatorio
por medio de las nociones de permutación
variación y combinación pero antes de
definir y ver algunos ejemplos de cada
una de estas estrategias de recuento de
casos en este primer vídeo vamos a
introducir el análisis combinatorio y a
repasar las técnicas básicas para contar
los elementos de un conjunto
denunciaremos para ello los principios
fundamentales del conteo
la combinatoria es el arte de contar sin
enumerar directamente todos los casos
posibles que pueden darse en un suceso
determinado es la parte de las
matemáticas que nos proporciona una
serie de métodos de conteo para calcular
de cuántas maneras distintas puede
ocurrir un determinado suceso si nos
preguntamos cuántos números de dos
cifras se pueden formar con los dígitos
1 y 8 la respuesta en este caso es
sencilla y rápidamente podemos comprobar
que hay solo 4 11 18 81 y 88 si por el
contrario queremos saber cuántos números
de 15 cifras se pueden formar con esos
mismos dígitos la respuesta ya no es tan
inmediata tampoco lo es por ejemplo
averiguar de cuántas formas se pueden
sentar 20 niños en un autobús escolar de
40 plazas o calcular de cuántas maneras
pueden llegar a la meta 10 corredores en
una carrera
podríamos tratar de formular las
distintas posibilidades con el fin de
contar todas ellas pero seguramente
acabaríamos por desistir
en este sentido sería interesante
conocer una serie de técnicas que nos
faciliten el recuento de los casos o
resultados de un determinado experimento
aleatorio sin tener que enumerar todos
ellos y de esta forma poder responder de
una forma más rápida y sencilla a las
preguntas anteriores
el cálculo o análisis combinatorio nos
proporciona una serie de técnicas
sencillas de cálculo para obtener el
recuento de estos casos agrupaciones o
colecciones diferentes de elementos que
podemos obtener a partir de un conjunto
dado a este respecto vamos a denominar
conjunto base al conjunto dado de
elementos a partir del cual se pueden
formar los diferentes subconjuntos o
agrupaciones por extensión vamos a
denominar base al número de elementos
que componen el conjunto base y orden al
número de elementos que contienen los
subconjuntos que podemos formar a partir
de él
existen distintas formas de realizar
estas agrupaciones teniendo en cuenta si
se repiten o no los elementos
disponibles según se puedan tomar todos
los elementos de los que disponemos o
solo parte de ellos y dependiendo de si
influye o no el orden de colocación de
los elementos en los grupos que se vayan
a formar
atendiendo a estas restricciones vamos a
ser capaces de diferenciar entre los
conceptos de variación permutación y
combinación con y sin repetición que nos
van a permitir resolver una gran
cantidad de problemas de recuento
pero antes de definir y ver algunos
ejemplos prácticos conviene repasar como
hemos dicho a principio del vídeo los
principios básicos del conteo
para ello debes recordar que un suceso
que puede ocurrir de diversas maneras lo
vamos a representar como un conjunto
cuyos elementos son las distintas formas
en las que puede darse dicho suceso y
que denominaremos cardinal de un
conjunto cualquiera al número de
elementos que éste contiene
por lo que respecta a las técnicas
básicas de conteo hay dos principios
importantes que debemos recordar el
denominado principio de adicción o regla
de la suma y el principio de
multiplicación o regla del producto
[Música]
el primero de ellos dice que si un
suceso ha puede ocurrir de m maneras
diferentes y otro suceso de puede
ocurrir de maneras diferentes
entonces el suceso o el be puede ocurrir
de n maneras distintas en este caso hay
b no pueden ocurrir simultáneamente son
sucesos dis juntos y por resultan por lo
tanto su intersección es el conjunto
vacío o tiene lugar el suceso a vuelve
pero no pueden suceder ambos a la vez
por tanto el cardinal de la unión de dos
conjuntos distintos es igual a la suma
de cardinales o dicho de otro modo para
contar los elementos de dos o más
conjuntos dos juntos basta con sumar el
número de elementos de cada uno de ellos
vamos a ver un ejemplo muy sencillo para
ir de su casa a la universidad daniel
utiliza un medio de transporte público
muy cerca de su casa pasan tres líneas
de autobuses y hay una parada de metro
por la que pasan dos líneas diferentes
si cualquiera de las líneas le dejan más
o menos cerca de la universidad de
cuántas formas diferentes puede ir hasta
la facultad es fácil ver en este caso
que son cinco el total de posibilidades
distintas de ir en un medio de
transporte público a la universidad
según la línea autobús 3
un metro dos posibilidades más
el segundo principio dice que un suceso
puede ocurrir de maneras diferentes e
independiente un segundo suceso puede
ocurrir de n maneras cuando es así el
número de maneras en que ambos a ive
pueden ocurrir es m por n en este caso
podemos decir que el suceso se
descompone en elementos independientes o
que los sucesos ocurren uno a
continuación del otro originando así lo
que llamamos un suceso compuesto en este
tipo de situaciones se aplica la regla
del producto según la cual el cardinal
de un producto cartesiano es igual al
producto de los cardinales vamos a verlo
con un ejemplo también si un restaurante
ofrece en su menú cuatro primeros platos
tres segundos y cinco postres cuántas
son las formas distintas que hay para
comer dado que el primer plato el
segundo y el postre son sucesos
independientes que pueden darse
respectivamente de 4 3 y 5 maneras
diferentes en total si aplicamos la
regla de producto hay 60 opciones
diferentes para comer en este
restaurante es el resultado por tanto de
multiplicar
por 3 y por 5
vamos a ver otro ejemplo cuántos números
pares de cuatro cifras se pueden formar
usando los dígitos 0 1 2 3 4 5 y 6 si
éstos pueden repetirse
si representamos el número par de cuatro
cifras por los sucesos a sub 12 sub 3 y
a sub 4
podemos ver fácilmente que la primera
posición a su 1 puede ser cualquier
dígito dado salvo el cero es decir son
seis posibilidades en total 1 2 3 4 5 y
6 la segunda y tercera posición a sus
dos hijas sub 3 pueden ser cualquier
dígito del 0 al 6 puesto que estos
pueden repetirse son ahora siete
posibilidades en total 0 1 2 3 4 5 y 6
la última posición a sub 4 solo puede
ser que hemos dicho que la cifra tiene
que ser par sólo puede ser 0 2 4 y 6 es
decir son 4 posibilidades en total si
aplicamos ahora la regla del producto
existen 6 por 7 por 7 y por 4 es decir
mil 176 números pares de cuatro cifras
que pueden formarse con esos seis
dígitos
bien los principios anteriores sirven
para resolver gran parte de los
problemas que se pueden presentar sin
embargo existen algunas situaciones para
las que bajo ciertas condiciones
es posible obtener fórmulas sencillas
para el recuento de estos casos o de
estas distintas formas de agrupar los
elementos del conjunto dado nos estamos
refiriendo a las opciones de permutación
variación y combinación que
mencionábamos al principio del vídeo
para distinguir o averiguar cuál de
estas técnicas tenemos que emplear
debemos preguntarnos en primer lugar si
para formar las distintas agrupaciones
influye o no el orden de colocación de
los elementos si la respuesta es sí
entonces estaremos hablando de
variaciones o permutaciones en caso
contrario cuando no influye el orden
estamos hablando de combinaciones
para distinguir si se trata de una
variación o una permutación nos vamos a
fijar en si vamos a usar o no todos los
elementos de los que disponemos veremos
que las permutaciones son un caso
particular de las variaciones pero eso
lo vamos a ver en el siguiente vídeo
donde el orden de los subconjuntos
coincide con el número de elementos del
conjunto base dependiendo de si se
pueden repetir o no los elementos vamos
a distinguir entre combinaciones
permutaciones y variaciones con y sin
repetición en la siguiente tabla se
resumen todas las posibilidades con sus
correspondientes fórmulas según las
diferentes restricciones en el siguiente
vídeo lo que vamos a ver es la
definición de cada una de ellas y su
fórmula de cálculo muchas gracias
[Música]
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