TEOREMA fundamental del ÁLGEBRA | Comprobando con un EJEMPLO

Profesor Rosado

22 Sept 202112:37

Summary

TLDREste vídeo explica el Teorema Fundamental del Álgebra, que asegura que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos. Se utiliza el ejemplo de un polinomio de grado 3 para demostrar cómo encontrar sus tres raíces. Seguidamente, se busca los divisores de los coeficientes y se aplica el método de Ruffini para identificar las raíces. El proceso resulta en tres raíces: 1, -3 y 1/2, mostrando que al reemplazar estas valores en el polinomio, este se anula.

Takeaways

📚 El teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos, incluyendo multiplicidad.
🔢 Se considera un polinomio general de grado n si cada término tiene exponentes descendiendo de n a 0, y los coeficientes varían de a0 a an.
🔍 Para encontrar las raíces de un polinomio, primero se identifican los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado.
🤔 Se sugiere buscar posibles raíces considerando las divisiones de los coeficientes y el término independiente, tanto en forma positiva como negativa.
📉 Se utiliza el método de Ruffini para probar las posibles raíces, reduciendo el polinomio y verificando si el resultado es cero.
✅ Se confirma que el 1 es una raíz del polinomio dado, ya que al reemplazarlo en el polinomio se obtiene un resultado de cero.
➗ Al encontrar una raíz, el grado del polinomio disminuye, lo que simplifica el proceso para encontrar las demás raíces.
🔄 Una vez que se encuentra una raíz, se utiliza para dividir el polinomio original y obtener uno de menor grado, facilitando la búsqueda de la siguiente raíz.
📉 El proceso se repite hasta encontrar todas las raíces, que son los valores que hacen que el polinomio sea cero cuando se les sustituye a x.
📌 Al final, se listan las raíces del polinomio como x = 1, x = -3 y x = 1/2, demostrando que son los ceros del polinomio.

Q & A

¿Qué es el teorema fundamental del álgebra?
-El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces o ceros en los números complejos, incluyendo las raíces repetidas.
¿Cómo se define un polinomio general en términos de su grado y coeficientes?
-Un polinomio general se define por su grado, que es el exponente de la variable x en el término de mayor grado, y por sus coeficientes, que son los números que multiplican cada término del polinomio.
¿Cuál es la relación entre el grado de un polinomio y el número de raíces que puede tener?
-El grado de un polinomio indica el número máximo de raíces que puede tener, es decir, un polinomio de grado n puede tener hasta n raíces en el conjunto de los números complejos.
¿Cómo se identifican los posibles divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado en un polinomio?
-Los posibles divisores se identifican buscando los números que dividen al término independiente y al coeficiente del término de mayor grado del polinomio. Estos divisores pueden ser positivos o negativos.
¿Qué método se utiliza para encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 en el ejemplo del video?
-Se utiliza el método de los posibles divisores, donde se consideran las divisiones de los coeficientes del término independiente y del término de mayor grado, y se evalúan en el polinomio para verificar si son raíces.
¿Qué significa que un número sea una raíz de un polinomio?
-Un número es una raíz de un polinomio si, al sustituirlo en el polinomio, el resultado es cero. Esto indica que el polinomio se anula en ese punto.
¿Cómo se aplica el método de Ruffini para reducir el grado de un polinomio una vez que se ha encontrado una raíz?
-El método de Ruffini implica dividir el polinomio original por el polinomio que resulta de la fórmula (x - raíz encontrada), lo que reduce el grado del polinomio y facilita encontrar las demás raíces.
¿Cuál es la importancia de reducir el grado de un polinomio tras encontrar una de sus raíces?
-Reducir el grado de un polinomio tras encontrar una raíz es importante porque simplifica el proceso de encontrar las demás raíces restantes, ya que se trabaja con un polinomio de menor grado.
¿Cómo se determina si un número es una raíz del polinomio utilizando el método de Ruffini?
-Se determina si un número es una raíz del polinomio sustituyéndolo en el polinomio y viendo si el resultado es cero. Si lo es, el número es una raíz; si no, no lo es.
¿Qué sucede cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio?
-Cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio, se pueden escribir en la forma de factores del polinomio, lo que permite representar el polinomio como el producto de sus factores correspondientes a cada raíz.

Outlines

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📘 Introducción al Teorema Fundamental del Álgebra

El primer párrafo introduce el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos, incluyendo las raíces repetidas. Se explica que un polinomio general de grado n se compone de términos con exponentes descendiendo de n a 0, y los coeficientes de estos términos son los números naturales mayores que 0. El ejemplo dado es el polinomio p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3, un polinomio de grado 3, por lo que debe tener tres raíces. Se describe el primer paso para encontrar estas raíces, que es buscar los divisores del término independiente (3) y del coeficiente del término de mayor grado (2), considerando tanto valores positivos como negativos.

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🔍 Búsqueda de Raíces a través de Divisores

Este párrafo detalla el proceso de buscar posibles raíces a partir de los divisores del polinomio p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3. Se calculan los posibles valores dividiendo los divisores del término independiente (1 y 3) entre los del coeficiente del término de grado mayor (1 y 2), resultando en ocho valores en total. Se enfatiza que, aunque se han encontrado ocho valores, solo tres de ellos corresponderán a las raíces del polinomio. Se introduce el método de Ruffini para verificar cuáles de estos valores son realmente raíces del polinomio.

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🎓 Aplicación del Método de Ruffini y Hallazgo de Raíces

El tercer párrafo describe el uso del método de Ruffini para determinar las raíces del polinomio. Seguidamente, se prueban los valores previamente encontrados, descartando a los que no cumplen con la condición de hacer cero el polinomio. Se encuentran las raíces 1, -1/2 y 3/2, y se explica que al encontrar cada raíz, el grado del polinomio disminuye. Finalmente, se resuelve el polinomio reducido de grado 2 para encontrar la última raíz, que resulta ser -3. El vídeo concluye con la lista de las tres raíces del polinomio: 1, -3 y 1/2, y se invita al espectador a seguir el canal y activar las notificaciones para no perderse futuros contenidos.

Mindmap

Keywords

💡Teorema Fundamental del Álgebra

El Teorema Fundamental del Álgebra es un concepto clave en matemáticas que establece que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en el campo de los números complejos, contando multiplicidad. Esto significa que cada polinomio, independientemente de sus coeficientes, tiene un número finito de soluciones, que pueden ser reales o imaginarias. En el guion del video, se utiliza este teorema para fundamentar la búsqueda de las raíces de un polinomio de grado 3, demostrando que existen tres raíces posibles.

💡Polinomio

Un polinomio es una expresión matemática que consiste en la suma de varios monomios, que son productos de coeficientes y variables elevadas a ciertos exponentes. En el video, se habla de un polinomio específico de grado 3, que es 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3, y se busca encontrar sus raíces utilizando el Teorema Fundamental del Álgebra.

💡Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable en el polinomio. En el contexto del video, se menciona que el polinomio de ejemplo es de grado 3, lo que indica que el exponente más alto de la variable x es 3, lo que es crucial para aplicar el Teorema Fundamental del Álgebra y determinar el número de raíces que se buscarán.

💡Coeficientes

Los coeficientes en un polinomio son los números que multiplican a las variables en cada término. En el guion, se habla de los coeficientes del polinomio de grado 3, que son 2, 3, -8 y 3, respectivamente para los términos x^3, x^2, x y el término independiente.

💡Raíces del Polinomio

Las raíces de un polinomio son los valores que hacen que el polinomio sea cero cuando se reemplazan en la expresión. En el video, se busca encontrar las tres raíces del polinomio dado, que son los valores de x que satisfacen la igualdad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = 0.

💡Divisores

En el contexto del video, los divisores se refieren a los números que dividen al término independiente y al coeficiente del término de mayor grado del polinomio. Se menciona que los divisores del término independiente (3) son 1 y 3, y los del coeficiente del término de mayor grado (2) son 1 y 2. Estos divisores son los valores que se utilizan para generar posibles raíces del polinomio.

💡Ruffini

Ruffini es una técnica mencionada en el video para reducir el grado de un polinomio después de encontrar una raíz. Se utiliza para simplificar el polinomio y encontrar las demás raíces. En el guion, se aplica este método después de determinar que x = 1 es una raíz, lo que reduce el grado del polinomio original y permite buscar la siguiente raíz.

💡Residuo

El residuo en el proceso de Ruffini se refiere al término que se obtiene después de la reducción del polinomio. En el video, se menciona que si el residuo es cero después de la reducción, entonces el valor de x que se está probando es una raíz del polinomio. Esto se verifica en el caso de x = 1/2, donde el residuo cero confirma que es una raíz.

💡Monomios

Los monomios son términos simples en un polinomio que consisten en una variable elevada a un exponente y un coeficiente. En el video, los monomios se mencionan implícitamente al hablar de los términos del polinomio, como 2x^3, 3x^2, -8x y 3, que son ejemplos de monomios.

💡Campo de los Números Complejos

El campo de los números complejos es el conjunto de todos los números complejos, que incluye tanto números reales como imaginarios. En el video, se menciona que el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que todos los polinomios tienen sus raíces en este campo, lo que es fundamental para asegurar que todas las raíces del polinomio de ejemplo, independientemente de ser reales o imaginarias, pueden ser encontradas.

Highlights

El teorema fundamental del álgebra asegura que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos.

Un polinomio general se define por su grado y coeficientes, donde el grado es el exponente máximo de la variable x.

Los coeficientes de un polinomio son los números que multiplican cada término, comenzando desde el grado más alto hasta el término independiente.

Para encontrar las raíces de un polinomio, se busca primero los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado.

Los divisores de un número son considerados tanto en sus formas positivas como negativas.

Se calculan posibles raíces dividiendo el coeficiente del término de mayor grado entre el término independiente.

Se evalúan las posibles raíces sustituyéndolas en el polinomio y utilizando el método de Ruffini para reducir el grado.

El método de Ruffini es una técnica para determinar si una raíz es válida al reducir el polinomio y verificar si el resultado es cero.

Se identificó que 1 es una raíz del polinomio dado, reduciendo así el grado del polinomio.

Después de encontrar una raíz, el polinomio se divide por (x - valor de la raíz) para reducir su grado.

Se demuestra que -1 no es una raíz del polinomio dado.

Se encuentra que 1/2 (un medio) es una raíz del polinomio, lo que lleva a una reducción en el grado del polinomio.

Tras obtener dos raíces, el polinomio se reduce a un grado 1, lo que permite encontrar la última raíz a través de un simple cálculo.

La última raíz encontrada es -3, completando así las tres raíces del polinomio de grado 3.

Las tres raíces del polinomio son 1, -3 y 1/2, demostrando que satisfacen la ecuación original al hacer cero el polinomio.

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