L'Équation de Bernoulli (Cas pratique vidange d'un réservoir d'eau)
Summary
TLDRLe théorème de Bernoulli est clé pour comprendre la mécanique des fluides, avec des applications variées allant de l'aérodynamique des avions à la conception de réseaux d'approvisionnement en eau. Ce script explique comment l'équation de continuité et le théorème de Bernoulli sont liés, démontre comment la vitesse et la pression varient dans un tube et comment la conservation de l'énergie est appliquée dans des cas pratiques tels que la forme de Torricelli. L'exemple du vidage d'un réservoir illustre comment ces concepts sont utilisés pour résoudre des problèmes concrets, montrant l'importance de ces théories dans l'ingénierie et la vie quotidienne.
Takeaways
- 📚 Le théorème de Bernoulli est essentiel pour comprendre la mécanique des fluides et a de nombreuses applications dans le monde qui nous entoure.
- 🛫 Il est utilisé dans l'aérodynamique des avions et le calcul de la charge du vent sur les bâtiments, ainsi que dans la conception de réseaux d'approvisionnement en eau et d'égout.
- 💧 L'équation de Bernoulli est importante en physique et en ingénierie, servant à estimer des paramètres comme le débit d'eau à l'aide d'appareils comme les déserts, les canalisations et les venturi.
- 🌀 L'équation de continuité est la base pour comprendre le théorème de Bernoulli, liant la section transversale et la vitesse du fluide à travers un tube.
- 🚰 Lorsque la section transversale d'un tube est réduite, la vitesse du fluide augmente, ce qui est utilisé dans des applications telles que le jardinage avec des tuyaux d'arrosage.
- 📝 L'équation de Bernoulli a été publiée pour la première fois en 1738 par le physicien suisse Daniel Bernoulli, décrivant la conservation de l'énergie dans un fluide.
- ⚖️ La somme des pressions statiques, dynamiques et hydrostatiques reste constante le long d'une ligne de courant, selon le théorème de Bernoulli.
- 🌡️ La pression dynamique dépend de la densité du fluide et de sa vitesse, représentant l'énergie cinétique par unité de volume.
- 📉 La pression hydrostatique est la pression exercée par un fluide en raison de la gravité, déterminée par l'élévation du fluide au-dessus d'un niveau de référence.
- 🌊 L'équation de Torricelli, dérivée du théorème de Bernoulli, permet de calculer la vitesse à laquelle un liquide s'écoule à travers un orifice à une profondeur h.
- ⏱️ L'application du théorème de Torricelli est utilisée pour calculer le temps nécessaire pour vidanger un réservoir, en tenant compte de la section de l'orifice et de la hauteur de l'orifice par rapport à la surface du liquide.
Q & A
Quel est le théorème de Bernoulli et comment est-il utilisé dans la mécanique des fluides?
-Le théorème de Bernoulli est une équation mathématique qui déclare que la somme des énergies cinétique, potentielle et statique d'un fluide est constante le long d'une ligne de courant. Il est utilisé pour comprendre et calculer divers phénomènes tels que l'aérodynamique des avions, la conception de réseaux d'approvisionnement en eau et d'égouts, et le débit mesuré par des appareils comme les déserts, les canaux par challes et les venturis.
Quelle est la première équation à comprendre avant de saisir le théorème de Bernoulli?
-L'équation de continuité est la première à comprendre avant le théorème de Bernoulli. Elle exprime que la quantité de fluide qui traverse une surface donnée reste constante, c'est-à-dire Q1 = Q2 = A1*v1 = A2*v2.
Comment l'équation de continuité est-elle liée à la vitesse et à la section transversale dans un tube?
-Dans un tube, si la section transversale est grande, la vitesse du fluide est faible, et inversement, si la section est réduite, la vitesse augmente. Cela est dû à la conservation de la quantité de fluide qui traverse le tube à tout point.
Qui a publié pour la première fois l'équation de Bernoulli?
-L'équation de Bernoulli a été publiée pour la première fois par le physicien suisse Daniel Bernoulli en 1738.
Quels sont les trois termes de l'équation de Bernoulli?
-Les trois termes de l'équation de Bernoulli sont la pression statique (pression interne du fluide), la pression dynamique (énergie cinétique par unité de volume) et la pression hydrostatique (pression due à la gravité et à l'élévation du fluide).
Comment la conservation de l'énergie est-elle appliquée dans le théorème de Bernoulli?
-La conservation de l'énergie est appliquée en considérant que le total des énergies (statique, cinétique et potentielle) est constant le long d'une ligne de courant, ce qui permet de déterminer comment la pression et la vitesse varient à différents points du fluide.
Quel est l'exemple donné dans le script pour expliquer l'application de l'équation de continuité dans le jardinage?
-L'exemple donné est celui d'un tuyau d'arrosage où, si la section transversale est réduite (par exemple avec le pouce), la vitesse de l'eau augmente, illustrant ainsi l'équation de continuité.
Quel est l'effet de Torricelli et comment est-il lié au théorème de Bernoulli?
-L'effet de Torricelli est une application du théorème de Bernoulli qui décrit la vitesse à laquelle un liquide s'écoule à travers un orifice à la base d'un réservoir ouvert à l'atmosphère. La vitesse est donnée par la racine carrée de la hauteur du liquide au-dessus de l'orifice multipliée par la gravité.
Comment le script explique-t-il le calcul du temps nécessaire pour vidanger un réservoir à l'aide de l'effet de Torricelli?
-Le script explique que le temps de vidange peut être calculé en utilisant le débit volumique à travers l'orifice et en mesurant la baisse du niveau d'eau dans le réservoir au fil du temps. Il utilise une formule qui relie le débit, la section de l'orifice, la hauteur d'eau et le temps de vidange.
Quelle est la différence entre la section réelle de l'orifice et la section apparente utilisée dans le calcul du débit?
-La section réelle de l'orifice est la surface ouverte à travers laquelle le fluide s'écoule. La section apparente, ou section contractée, est la section où les lignes de courant sont parallèles et rectilignes après la sortie de l'orifice, et c'est celle utilisée pour calculer le débit.
Quel est le coefficient de contraction et comment est-il utilisé dans le calcul du débit à travers un orifice?
-Le coefficient de contraction est un facteur (dont la valeur varie entre 0,5 et 1) qui représente la proportion de la section réelle de l'orifice qui contribue au débit. Il est utilisé pour calculer la section apparente à partir de la section réelle de l'orifice.
Comment le script relie-t-il le niveau de l'eau dans un réservoir à la vitesse de vidange à travers un orifice?
-Le script utilise l'équation de Torricelli pour montrer que la vitesse de vidange est directement proportionnelle à la racine carrée de la hauteur de l'eau au-dessus de l'orifice. Plus le niveau d'eau est élevé, plus la vitesse de vidange est rapide.
Outlines
📚 Principes du théorème de Bernoulli et applications
Le théorème de Bernoulli est abordé comme un outil clé pour comprendre la mécanique des fluides, avec des applications telles que l'aérodynamique des avions, le calcul de la charge du vent sur les bâtiments, la conception de réseaux d'approvisionnement en eau et d'égout, et la mesure de débit avec des dispositifs comme les déserts et les venturis. L'équation de Bernoulli est décrite comme étant simple mais extrêmement importante en physique et en ingénierie, jouant un rôle vital dans les avancées technologiques pour améliorer la qualité de vie. L'explication inclut également la compréhension nécessaire de l'équation de continuité, qui est liée à la vitesse et à la section transversale d'un fluide traversant un tube, et comment cela affecte la vitesse du fluide en fonction de la taille de la section transversale.
🌊 Application du théorème de Torricelli et équation de Bernoulli
Le deuxième paragraphe se concentre sur l'application du théorème de Bernoulli dans le contexte de l'équation de Torricelli, qui décrit la vitesse à laquelle un liquide s'écoule d'un orifice à une certaine hauteur. On explique comment les termes de pression s'annulent dans le cas d'un réservoir ouvert à l'atmosphère et de grandes dimensions par rapport à l'orifice, ce qui simplifie l'équation pour déterminer la vitesse d'écoulement. La section apparente, la section contractée et le coefficient de contraction sont discutés en relation avec le débit du liquide à travers l'orifice. L'exemple d'un réservoir à vidanger est utilisé pour montrer comment calculer le temps nécessaire pour vider le réservoir en utilisant l'équation de Torricelli, en tenant compte de la section de l'orifice, la section apparente, et le coefficient de contraction, pour arriver à une estimation du temps de vidange.
Mindmap
Keywords
💡Théorème de Bernoulli
💡Mécanique des fluides
💡Équation de continuité
💡Aérodynamique
💡Pression statique
💡Pression dynamique
💡Pression hydrostatique
💡Conservation de l'énergie
💡Torricelli
💡Débit
💡Coefficient de contraction
Highlights
Le théorème de Bernoulli est essentiel pour comprendre la mécanique des fluides et a de nombreuses applications dans le monde qui nous entoure.
L'aérodynamique d'un avion, le calcul de la charge du vent sur les bâtiments, et la conception de réseaux d'approvisionnement en eau et d'égout sont des exemples d'applications du théorème de Bernoulli.
Le théorème de Bernoulli permet d'estimer le débit à l'aide d'appareils comme les déserts, les canalisations et les venturi.
L'équation de Bernoulli est simple mais incroyablement importante en physique et en ingénierie.
La conservation de l'énergie est le principe clé derrière l'équation de Bernoulli.
L'équation de continuité est un prérequis pour comprendre l'équation de Bernoulli.
La réduction de la section transversale d'un tube augmente la vitesse du fluide qui s'y déplace.
L'équation de Bernoulli a été publiée pour la première fois par le physicien suisse Daniel Bernoulli en 1738.
La somme des termes de pression statique, pression dynamique et pression hydrostatique reste constante le long d'une ligne de courant selon l'équation de Bernoulli.
La forme de l'équation de Bernoulli en charges énergie par unité de masse est utilisée pour expliquer la conservation de l'énergie.
La vitesse du fluide est plus élevée du côté où la section transversale est réduite.
La forme de Torricelli du théorème de Bernoulli est utilisée pour calculer la vitesse d'écoulement d'un liquide à travers un orifice.
La vitesse d'écoulement ne dépend pas de la masse volumique du fluide mais de la hauteur de l'orifice au-dessus de la surface du liquide.
Le calcul du temps de vidange d'un réservoir à l'aide de la formule de Torricelli est une application pratique du théorème de Bernoulli.
La section apparente de l'orifice est utilisée pour calculer le débit du liquide sortant d'un réservoir.
Le coefficient de contraction est un facteur clé dans le calcul du débit et peut être déterminé expérimentalement.
Le temps nécessaire pour vidanger un réservoir peut être calculé en utilisant le théorème de Bernoulli et la formule du débit.
La détermination du temps de vidange d'un réservoir illustre l'application du théorème de Bernoulli dans des calculs pratiques.
Transcripts
le théorème de bernoulli fournit un
moyen mathématiques pour comprendre la
mécanique des fluides et là de
nombreuses applications dont le monde
qui nous entoure allons de la
compréhension de l'aérodynamique d'un
avion calcul de la charge du vont sur
les bâtiments conception de réseau
d'approvisionnement en eau et d'égout le
mesure du débit à l'aide d'appareils
tels que les déserts voir les canaux par
challes et les venturi m elle estime de
soi notamment à travers le sol etc bien
que l'expression du théorème de
bernoulli soit simple mais elle est
incroyablement importante en physique et
en ingénierie le principe impliqué dans
l'équation jouent un rôle vital dont les
avancées technologiques conçu pour
améliorer la qualité de la vie humaine
aujourd'hui on va essayer de comprendre
l'équation de bernoulli avec des
applications ici vous obtenez une
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soutien à ma chaîne merci
pour comprendre l'équation de bernoulli
vous devez d'abord comprendre comment
fonctionne l'équation de continuité
l'équation de continuité est égal à 1 x
v 1 et galaade deux fois v2 ou à 1 et la
section transversale et vais la vitesse
si on prend un tube comme celui ci le
flohic le traverse de gauche à droite
ont deux points différents à 1 va être
la surface de la section transversale au
point 1 et puisque nous avons une grande
sections transversales ici nous allons
avoir une vitesse relativement faible et
si nous nous déplaçons vers la droite
puisque nous diminuions cette zone cette
section nous allons avoir une vitesse
plus élevée et donc si vous connaissez
la section transversale à n'importe quel
point du tube ou souffle où il se
déplace vous serez en mesure de
déterminer la vitesse une application de
ceci si vous faites du jardinage vous
avez un tuyau lorsque l'eau on sort elle
a une grande section transversale si
vous mettez votre pouce devons qu'est ce
qu'on fait nous réduisons la section
transversale alors la vitesse augmente
l'équation de berne lui a été publié
pour la première fois par le physicien
suisse daniel bernoulli en 1738
l'équation indique que la somme de ces
trois termes restent constantes le long
d'une ligne de courant c'est à dire on a
une conservation de l'énergie le premier
terme et la pression statique aux
pressions intérieures qui est simplement
la pression paix du fluide c'est à dire
combien ce flou et pousse-t-il sur un
point à l'intérieur du fluide oui mais
ensuite nous avons la pression dynamique
qui est en fonction de la densité du
fluide raw et de la vitesse v et
représente l'énergie cinétique du floyd
par unité de volume et le dernier terme
et la pression hydrostatique qui est la
pression exercée par le fluide en raison
de la gravité j'ai l'accélération
gravitationnelle et h et l'élévation du
floyd c'est à dire sa hauteur au dessus
d'un niveau de référence cette écriture
de l'équation est en forme de presse on
mais elle peut également être présenté
sous la forme de charges énergie par
unité de masse où on auteurs énergie par
unité de poids maintenant expliquons un
peu plus la conservation de l'énergie on
a par exemple cette conduite les deux
côtés ont la même hauteur ou la même
valeur de y on ne peut donc les retirer
de cette équation pour la vitesse où
va-t-elle être plus rapide ça va être
plus rapide du côté droit de la conduite
et on aura une vitesse plus longues sur
le côté gauche et maintenant quelle doit
être notre pression sur le côté droit et
bien pour que ce soit égal de part et
d'autre pour maintenir la conservation
de l'énergie qu'il va falloir avoir une
pression plus basse sur le côté droit si
ça le principe de la conservation de
l'énergie ne savons que ce sera une
quantité égale d'énergie des deux côtés
avec cette info nous pourrons résoudre
des problèmes assez complexe
on a comme application du théorème de
bernoulli la forme il de torricella on
considère un réservoir de grande
dimension ouvert à l'atmosphère
contenant un liquide de masse volumique
raw est percée d'un petit orifice à sa
base à une hauteur h de la surface liban
ici on travaille avec la forme de
l'équation en hauteur et on applique le
théorème de bernoulli entre deux points
1 et 2 d'une même ligne de courant le
réservoir est ouvert au point un donc
perd un ep atmosphériques égales ap
atmosphérique et au point 2 p2 est aussi
égale ap atmosphérique car la ligne de
courant et entre la surface libre et la
sortie de leur fils alors les termes de
pression s'élimine on a supposé que le
réservoir et de grandes dimensions par
rapport à la taille de l'orifice donc la
vitesse au point un est négligeable et
du coup le terme d'énergie cinétique à
gauche va disparaître et on a le plan de
référence
au point 2 donc z2 égal 0 elle cède 1,1
à la hache ou autrement dit h égalisait
d'un mois z c'est à dire la distance
entre la surface libre et l'orifice on
simplifie et on obtient la forme de tour
et shelly on a la vitesse d'écoulement
au niveau d'un orifice situé à une
profondeur h par rapport à la surface de
remplissage du réservoir est égale à la
racine de deux jets h
dans cette équation la vitesse ne dépend
pas de la masse volumique du volume
c'est-à-dire pour une distance h donné
la vitesse d'écoulement du floyd sera la
même quelle que soit la masse volumique
de ce fluide en revanche on voit que la
vitesse dépend de la hauteur de l'équipe
une application de la formule de
torricelli et le calcul du thon de
vidange d'un réservoir d'abord le débit
du liquide sortons par l'orifice et cuve
est égal à 6 demain vb il faut faire
attention ici que cette section sigma
n'est pas la section exact de l'orifice
mais la section apparente prise par le
liquide après la sortie est dite section
contracter c'est la section ou delà de
laquelle les lignes de courant sont
parallèles et rectiligne dont la
pratique le débit est donné par la
formule du végal as fois c'est x vb sc
la section de l'orifice etc c'est un
coefficient 7 un coefficient de
contraction et c'est égal à sigma sur
petitesse ces conditions peut être
calculé expérimentalement et sa valeur
varie entre 0 5 et 1 suivant la forme
géométrique de l'orifice maintenant on
veut calculer le temps nécessaire pour
vidanger un réservoir on a un réservoir
avec une section horizontale de quatre
mètres carrés et les remplit d'eau sur
20 m de dos l'orifice on bat du
réservoir à une section de quatre
centimètres carrés à partir du théorème
de torricelli calculer le temps
nécessaire pour vidanger le réservoir
alors il faut d'abord
iv de deux façons différentes le volume
vidanger pendant un temps d'été d'une
part en fonction du débit cuvée et
d'autre part en fonction de la baisse du
niveau des âges dont le réservoir
pendant ce temps d'été on sait que le
débit volumique si coulon à travers
l'orifice et cuve était égal c'est cette
fois petitesse x vb égale à 16 soit s
fois racines de deux j'ai acheté avec sc
la section de l'orifice au petitesse et
ccc les conditions de contraction le
volume de vidange ou le volume vie dont
j'ai pendant un temps et d'été et cuvées
fouad était égal à moin s fois dh on
égale le volume d'eau cuvée fois des
tékés school par l'orifice pendant le
temps d'été et le volume d'eau - s x 2 h
correspond à la baisse de niveau dh dont
le réservoir le sinois est nécessaire
car dh est négatif puisque le niveau de
réservoir baisse alors que l'autre terme
cuvée fouad été positif ainsi ces x s
fois racines de j'ai acheté fouad était
égal maintenant - est fois des âges dont
on peut séparer les variables on a cessé
fois s fois racines de 2g / - s fouad
était égal dh sur racine 2h et gala h
bien sûr racines de - 1/2 fois dh dont
on peut séparer les variables c'est
cette fois petitesse fois racines de 2g
/ - est-ce froide était égal à dh sur
racine de rage et gala h bien sûr h à la
puissance - 1/2 fois dh on peut intégrer
maintenant et après l'intégration
on a cessé fois s pour un signe de 2g /
- est soit est égal à moins deux fois
aux racines de d'un demi et le ton
maintenant tu es égale deux aces sur ses
x petitesse fois racines de assure 2g
égale à 32 mille cinq cent soixante dix
secondes alors le temps nécessaire pour
vidanger ce réservoir est de 9 heures
[Musique]
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